$\text{a)}\sqrt{x-2}<8-x$  

Wyznaczamy dziedzinę nieówności:

$x-2\ge 0$  

$x\ge 2$  

$D=⟨2,+\infty )$  

 

$\sqrt{x-2}<8-x$  

$\sqrt{x-2}<-\left(x-2\right)+6$  

Podstawiamy  $\sqrt{x-2}=t,\mathrm{tg}e0.$  

$t<-t^2+6$  

$t^2+t-6<0$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji  $f\left(t\right)=t^2+t-6:$  

$\Delta =1+24=25,\sqrt{\Delta }=5$  

$t_1=\frac{-1-5}{2}=-3\vee t_2=\frac{-1+5}{2}=2$  

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji  $f,$  ramiona paraboli są skierowane do góry,

bo współczynnik przy  $t^2$  jest dodatni.

$f\left(t\right)<0\iff t\in \left(-3,2\right)\wedge \mathrm{tg}e0$  

$f\left(t\right)<0\iff t\in ⟨0,2)\iff \left(\mathrm{tg}e0\wedge t<2\right)$  

Podstawiamy  $t=\sqrt{x-2}:$  

$\sqrt{x-2}\ge 0\wedge \sqrt{x-2}<2$  

Pierwsza nierówność jest prawdziwa dla każdego $x\in D.$  

Obie strony drugiej nierówności są nieujemne, możemy więc podnieść je do kwadratu.

$\sqrt{x-2}<2{\text{/}}^2$  

$x-2<4$  

$x<6$  

$x\in \left(-\infty ,6\right)\wedge x\in D$  

$x\in \left(-\infty ,6\right)\wedge x\in ⟨2,+\infty )$  

$x\in ⟨2,6)$  

Odp.