Matematyka

Matematyka 2 Pazdro. Zbiór zadań do liceów i techników. Poziom rozszerzony (Zbiór zadań, OE Pazdro)

Rozwiąż algebraicznie układ równań: 4.67 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Rozwiąż algebraicznie układ równań:

1.145
 Zadanie
1.146
 Zadanie
1.147
 Zadanie

1.148
 Zadanie

`"a)"\ {(|x|+3|y|=7),(|y|-|x|=1):}` 

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|x|={(x,\ "dla"\ xge0),(-x,\ "dla"\ x< 0):}` 

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|y|={(y,\ "dla"\ yge0),(-y,\ "dla"\ y< 0):}` 

Po uwzględnieniu powyższych warunków otrzymujemy cztery przypadki:

`1)\ xge0,\ yge0` 

`{(x+3y=7),(y-x=1):}` 

`{(x=7-3y),(y-x=1):}` 

`{(x=7-3y),(y-(7-3y)=1):}` 

`{(x=7-3y),(y-7+3y=1):}` 

`{(x=7-3y),(4y=8\ "/":4):}` 

`{(x=7-3y),(y=2):}` 

`{(x=7-3*2),(y=2):}` 

`{(x=1),(y=2):}` 

`2),\ x< 0,\ yge0` 

`{(-x+3y=7),(y+x=1):}` 

`{(-x+3y=7),(x+y=1):}` 

Dodajemy równania stronami.

`{(-x+3y=7),(4y=8\ "/":4):}` 

`{(-x+3y=7),(y=2):}` 

`{(-x+3*2=7),(y=2):}` 

`{(-x=1\ "/"*(-1)),(y=2):}` 

`{(x=-1),(y=2):}` 

`3)\ x< 0,\ y< 0` 

`{(-x-3y=7),(-y+x=1):}` 

`{(-x-3y=7),(x-y=1):}` 

Dodajemy równania stronami.

`{(-x-3y=7),(-4y=8\ "/":(-4)):}` 

`{(-x-3y=7),(y=-2):}` 

`{(-x-3*(-2)=7),(y=-2):}` 

`{(-x+6=7),(y=-2):}` 

`{(x=-1),(y=-2):}` 

`4)\ xge0,\ y< 0`  

`{(x-3y=7),(-y-x=1):}` 

`{(x-3y=7),(-x-y=1):}` 

Dodajemy równania stronami.

`{(x-3y=7),(-4y=8\ "/":(-4)):}` 

`{(x-3y=7),(y=-2):}` 

`{(x-3*(-2)=7),(y=-2):}` 

`{(x+6=7),(y=-2):}` 

`{(x=1),(y=-2):}` 

Odp. `{(x=1),(y=2):}\ vv\ {(x=-1),(y=2):}\ vv\ {(x=-1),(y=-2):}\ vv\ {(x=1),(y=-2):}` 

 

`"b)"\ {(3|x|-6|y|=9),(5|x|+10|y|=15):}` 

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|x|={(x,\ "dla"\ xge0),(-x,\ "dla"\ x< 0):}` 

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|y|={(y,\ "dla"\ yge0),(-y,\ "dla"\ y< 0):}` 

Po uwzględnieniu powyższych warunków otrzymujemy cztery przypadki:

`1)\ xge0,\ yge0` 

`{(3x-6y=9\ "/":3),(5x+10y=15\ "/":(-5)):}` 

`{(x-2y=3),(-x-2y=-3):}` 

Dodajemy równania stronami.

`{(x-2y=3),(-4y=0\ "/":(-4)):}` 

`{(x-2y=3),(y=0):}` 

`{(x=3),(y=0):}` 

 `2)\ x< 0,\ yge0` 

`{(-3x-6y=9\ "/":3),(-5x+10y=15\ "/":(-5)):}` 

`{(-x-2y=3),(x-2y=-3):}` 

Dodajemy równania stronami.

`{(-x-2y=3),(-4y=0\ "/":(-4)):}` 

`{(-x-2y=3),(y=0):}` 

`{(-x=3\ "/"*(-1)),(y=0):}` 

`{(x=-3),(y=0):}` 

`3)\ x< 0,\ y< 0` 

`{(-3x+6y=9\ "/":3),(-5x-10y=15\ "/":(-5)):}` 

`{(-x+2y=3),(x+2y=-3):}` 

Dodajemy równania stronami.

`{(-x+2y=3),(4y=0\ "/":4):}` 

`{(-x+2y=3),y=0):}` 

`{(-x=3),y=0):}` 

`{(x=-3),y=0):}` 

`4)\ x ge0,\ y< 0` 

`{(3x+6y=9\ "/":3),(5x-10y=15\ "/":(-5)):}` 

`{(x+2y=3),(-x+2y=-3):}` 

Dodajemy równania stronami.

`{(x+2y=3),(4y=0\ "/":4):}` 

`{(x+2y=3),y=0):}` 

`{(x=3),y=0):}` 

Odp. `{(x=3),y=0):}\ vv\ {(x=-3),y=0):}` 

 

`"c)"\ {(|2x|-|5y|=-11),(|3x|+|4y|=18):}` 

`{(2|x|-5|y|=-11),(3|x|+4|y|=18):}` 

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|x|={(x,\ "dla"\ xge0),(-x,\ "dla"\ x< 0):}` 

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|y|={(y,\ "dla"\ yge0),(-y,\ "dla"\ y< 0):}` 

Po uwzględnieniu powyższych warunków otrzymujemy cztery przypadki:

`1)\ xge0,\ yge0`

`{(2x-5y=-11\ "/"*3),(3x+4y=18\ "/"*(-2)):}`  

`{(6x-15y=-33),(-6x-8y=-36):}`  

Dodajemy równania stronami:

`{(6x-15y=-33),(-23y=-69\ "/":(-23)):}`  

`{(6x-15y=-33),(y=3):}`  

`{(6x-45=-33),(y=3):}`  

`{(6x=12\ "/":6),(y=3):}`  

`{(x=2),(y=3):}`  

`2)\ x< 0,\ yge0` 

`{(-2x-5y=-11\ "/"*3),(-3x+4y=18\ "/"*(-2)):}`  

`{(-6x-15y=-33),(6x-8y=-36):}`  

Dodajemy równania stronami:

`{(-6x-15y=-33),(-23y=-69\ "/":(-23)):}`  

`{(-6x-15y=-33),(y=3):}`  

`{(-6x-45=-33),(y=3):}`  

`{(-6x=12\ "/":(-6)),(y=3):}`  

`{(x=-2),(y=3):}`

`3)\ x< 0,\ y< 0` 

`{(-2x+5y=-11\ "/"*3),(-3x-4y=18\ "/"*(-2)):}`  

`{(-6x+15y=-33),(6x+8y=-36):}`  

Dodajemy równania stronami:

`{(-6x+15y=-33),(23y=-69\ "/":23):}`  

`{(-6x+15y=-33),(y=-3):}`  

`{(-6x-45=-33),(y=-3):}`  

`{(-6x=-12\ "/":(-6)),(y=-3):}`  

`{(x=2),(y=-3):}`

`4)\ xge0,\ y< 0` 

`{(2x+5y=-11\ "/"*3),(3x-4y=18\ "/"*(-2)):}`  

`{(6x+15y=-33),(-6x+8y=-36):}`  

Dodajemy równania stronami:

`{(6x+15y=-33),(23y=-69\ "/":23):}`  

`{(6x+15y=-33),(y=-3):}`  

`{(6x-45=-33),(y=-3):}`  

`{(6x=-12\ "/":6),(y=-3):}`  

`{(x=-2),(y=-3):}`

Odp.  `{(x=2),(y=3):}\ vv\ {(x=-2),(y=3):}\ vv\ {(x=2),(y=-3):}\ vv\ {(x=-2),(y=-3):}` 

 

`"d)"\ {(|x+1|+y=4),(2y-|x+1|=2):}` 

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|x+1|={(x+1,\ "dla"\ xge-1),(-x-1,\ "dla"\ x< -1):}` 

Po uwzględnieniu powyższych warunków otrzymujemy dwa przypadki:

`1)\ xge-1` 

`{(x+1+y=4),(2y-x-1=2):}` 

`{(x+y=3),(-x+2y=3):}` 

Dodajemy równania stronami.

`{(x+y=3),(3y=6\ "/":3):}` 

`{(x+y=3),(y=2):}` 

`{(x+2=3),(y=2):}` 

`{(x=1),(y=2):}` 

`2)\ x< -1` 

`{(-x-1+y=4),(2y+x+1=2):}` 

`{(-x+y=5),(x+2y=1):}` 

Dodajemy równania stronami:

`{(-x+y=5),(3y=6\ "/":3):}` 

`{(-x+y=5),(y=2):}` 

`{(-x+2=5),(y=2):}` 

`{(-x=3),(y=2):}` 

`{(x=-3),(y=2):}` 

Odp. `{(x=1),(y=2):}\ vv\ {(x=-3),(y=2):}` 

 

`"e)"\ {(|x-1|+3|y|=5),(|2-2x|+2=|6y|):}` 

`{(|x-1|+3|y|=5),(2|1-x|+2=6|y|):}` 

`{(|x-1|+3|y|=5),(2|x-1|+2=6|y|):}` 

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|x-1|={(x-1,\ "dla"\ xge1),(-x+1,\ "dla"\ x< 1):}` 

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|y|={(y,\ "dla"\ yge0),(-y,\ "dla"\ y< 0):}` 

Po uwzględnieniu powyższych warunków otrzymujemy cztery przypadki:

`1)\ xge1,\ yge0` 

`{(x-1+3y=5),(2(x-1)+2=6y\ "/":2):}` 

`{(x+3y=6),(x=3y):}` 

`{(3y+3y=6),(x=3y):}` 

`{(6y=6\ "/":6),(x=3y):}` 

`{(y=1),(x=3y):}` 

`{(y=1),(x=3):}` 

`{(x=3),(y=1):}` 

`2)\ x< 1,\ yge0` 

`{(-x+1+3y=5),(2(-x+1)+2=6y\ "/":2):}` 

`{(-x+3y=4),(-x-3y=-2):}` 

Dodajemy równania stronami.

`{(-x+3y=4),(-2x=2\ "/":(-2)):}` 

`{(-x+3y=4),(x=-1):}` 

`{(1+3y=4),(x=-1):}` 

`{(3y=3\ "/":3),(x=-1):}` 

`{(y=1),(x=-1):}` 

`{(x=-1),(y=1):}` 

`3)\ x< 1,\ y< 0` 

`{(-x+1-3y=5),(2(-x+1)+2=-6y\ "/":2):}` 

`{(-x-3y=4),(-x+3y=-2):}` 

Dodajemy równania stronami.

`{(-x-3y=4),(-2x=2\ "/":(-2)):}` 

`{(-x-3y=4),(x=-1):}` 

`{(1-3y=4),(x=-1):}` 

`{(-3y=3\ "/":(-3)),(x=-1):}` 

`{(y=-1),(x=-1):}` 

`{(x=-1),(y=-1):}` 

`4)\ xge1,\ y< 0` 

`{(x-1-3y=5),(2(x-1)+2=-6y\ "/":2):}` 

`{(x-3y=6),(x=-3y):}` 

`{(-3y-3y=6),(x=-3y):}` 

`{(-6y=6\ "/":(-6)),(x=-3y):}` 

`{(y=-1),(x=-3y):}` 

`{(y=-1),(x=3):}` 

`{(x=3),(y=-1):}` 

Odp. `{(x=3),(y=1):}\ vv\ {(x=1),(y=-1):}\ vv\ {(x=-1),(y=-1):}\ vv\ {(x=3),(y=-1):}`   

 

`"f)"\ {(|3-2x|-|y-1|=2),(|1-y|+|4x-6|=13):}` 

`{(|2x-3|-|y-1|=2),(|y-1|+2|2x-3|=13):}` 

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|2x-3|={(2x-3,\ "dla"\ xge3/2),(-2x+3,\ "dla"\ x< 3/2):}` 

Z definicji wartości bezwzględnej:

`|y-1|={(y-1,\ "dla"\ yge1),(-y+1,\ "dla"\ y< 1):}` 

Po uwzględnieniu powyższych warunków otrzymujemy cztery przypadki:

`1)\ xge3/2,\ yge1` 

`{(2x-3-(y-1)=2),(y-1+2(2x-3)=13):}` 

`{(2x-3-y+1=2),(y-1+4x-6=13):}` 

`{(2x-y=4),(4x+y=20):}` 

Dodajemy równania stronami.

`{(2x-y=4),(6x=24\ "/":6):}` 

`{(2x-y=4),(x=4):}` 

`{(8-y=4),(x=4):}` 

`{(y=4),(x=4):}` 

`{(x=4),(y=4):}` 

`2)\ x< 3/2,\ yge1` 

`{(-2x+3-(y-1)=2),(y-1+2(-2x+3)=13):}` 

`{(-2x-y=-2),(-4x+y=8):}` 

Dodajemy równania stronami.

`{(-2x-y=-2),(-6x=6\ "/":(-6)):}` 

`{(-2x-y=-2),(x=-1):}` 

`{(2-y=-2),(x=-1):}` 

`{(y=4),(x=-1):}` 

`{(x=-1),(y=4):}` 

`3)\ x< 3/2,\ y< 1` 

`{(-2x+3-(-y+1)=2),(-y+1+2(-2x+3)=13):}` 

`{(-2x+y=0),(-4x-y=6):}` 

`{(y=2x),(-4x-y=6):}` 

`{(y=2x),(-4x-2x=6):}` 

`{(y=2x),(-6x=6\ "/":(-6)):}` 

`{(y=2x),(x=-1):}` 

`{(y=-2),(x=-1):}` 

`{(x=-1),(y=-2):}` 

`4)\ xge3/2,\ y< 1` 

`{(2x-3-(-y+1)=2),(-y+1+2(2x-3)=13):}` 

`{(2x+y=6),(4x-y=18):}` 

Dodajemy równania stronami.

`{(2x+y=6),(6x=24\ "/":6):}` 

`{(2x+y=6),(x=4):}` 

`{(8+y=6),(x=4):}` 

`{(y=-2),(x=4):}` 

`{(x=4),(y=-2):}` 

Odp. `{(x=4),(y=4):}\ vv\ {(x=-1),(y=4):}\ vv\ {(x=-1),(y=-2):}\ vv\ {(x=4),(y=-2):}` 

DYSKUSJA
Informacje
Autorzy: Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab, Elżbieta Świda
Wydawnictwo: OE Pazdro
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Równania

Dwa wyrażenia algebraiczne, z których przynajmniej jedno zawiera literę, połączone znakiem równości tworzą równanie.

Litera występująca w równaniu to niewiadoma.

Wyrażenie występujące po lewej stronie znaku równości to lewa strona równania, a wyrażenie występujące po prawej stronie to prawa strona równania.

lewa i prawa strona równania

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą to dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości, przy czym w równaniu tym występuje tylko jedna niewiadoma w pierwszej potędze.

Przykłady równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą:

  • $$7x − 11 = 17$$
  • $$8y = 16$$
  • $$3x + 7 = 10 + 2x$$

Rozwiązanie równania z jedną niewiadomą – to liczba, która podstawiona do równania w miejsce niewiadomej spełnia to równanie (czyli po podstawieniu tej liczby w miejsce niewiadomej, lewa strona równania będzie się równać prawej stronie).

Przykład 1.

Sprawdźmy czy liczba 2 spełnia równanie $$3x + 7 = 10 + 2x$$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.
Podstawiamy liczbę 2 w miejsce niewiadomej x.

  • I sposób
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $$L = 3x + 7 = 3•2+ 7 = 6 + 7 = 13$$
    $$P = 10 + 2x = 10 + 2•2= 10 + 4 = 14$$
    $$13≠14$$, czyli $$L≠P$$

    czyli liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

  • II sposób
    Podstawiamy 2 w miejsce x i sprawdzamy czy otrzymamy równość prawdziwą:

    $$3•2+7=10 + 2•2$$
    $$6 + 7 = 10 + 4$$
    $$13 = 14$$ ← otrzymaliśmy równość fałszywą

    zatem liczba 2 nie spełnia danego równania, zatem nie jest rozwiązaniem równania.

Przykład 2.

Sprawdźmy czy liczba 3 spełnia równanie $$3x + 7 = 10 + 2x$$, czyli czy jest rozwiązaniem tego równania.

  • Podstawiamy liczbę 3 w miejsce niewiadomej x.
    Obliczamy wartość lewej i prawej strony równania, podstawiając w miejsce x liczbę 2, a następnie porównujemy otrzymane wyniki:

    $$L = 3x + 7 = 3•3+ 7 = 9 + 7 = 16$$
    $$P = 10 + 2x = 10 + 2•3= 10 + 6 = 16$$
    $$L = P$$

    Zatem liczba 3 spełnia dane równanie, zatem jest jego rozwiązaniem.
Funkcja ciągła
Funkcja ciągła to intuicyjnie taka funkcja, którą można narysować bez odrywania ołówka od kartki - nie ma żadnych nagłych "przeskoków". Jednak ta definicja, poza tym, że jest mało precyzyjna, zawiera błąd. Na przykład funkcję $$f(x) = frac{1}{x}$$ nazywamy funkcją ciągłą, mimo, że przecież nie da się narysować jej wykresu od $$-1$$ do $$1$$ bez odrywania ołówka. Dzieje się tak, ponieważ funkcja może być ciągła tylko w swojej dziedzinie - poza dziedziną przecież "nie istnieje", więcn nie można nic o niej powiedzieć.

Precyzyjną definicją ciągłości jest to, czy dla każdego $$x f(x)$$ jest równe granicy w tym punkcie. Intuicyjnie wydaje się to poprawne: jeśli coraz bardziej zbliżamy się do punktu $$x_0$$ i jesteśmy coraz bliżej jego wartości, to jeśli w końcu dotrzemy w $$x_0$$, to powinniśmy tam znaleźć wartość właśnie $$f(x_0)$$.

Funkcje ciągłe mają tę ciekawą właściwość, że na przedziale przyjmują wszystkie wartości pośrednie. To znaczy, że jeśli na przykład w punkcie $$x = 0 f(x) = 2$$, a w punkcie $$x = 1 f(x) = -2$$, to wiemy, że w tym przedziale na pewno znajdzie się taki punkt $$a$$, że $$f(a) = 0$$. (Oczywiście funkcja musi być określona na całym tym przedziale)

Ważne jest to, że wykonując operacje arytmetyczne oraz składając funkcje ciągłe otrzymujemy zawsze funkcje ciągłe - dlatego wszystkie "normalne", tzn określone "prostym" wzorem (jak na przykład wielomiany lub funkcje trygonometryczne) będą ciągłe.
Udostępnij zadanie