Znajdź ciąg geometryczny... - Zadanie 7.97: Matematyka 2. Poziom rozszerzony - strona 239
Matematyka
Wybierz książkę
Znajdź ciąg geometryczny... 4.33 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Niech nasz ciąg będzie miał postać:

 

Wyraz trzeci zmniejszony o o sumę dwóch pierwszych jest równy 3:

Zadanie premium

Reszta rozwiązania tego zadania jest widoczna tylko dla użytkowników Premium dla klasy 4 szkoły podstawowej

Jedynie niewielka część zadań rozwiązanych przez naszych nauczycieli jest dostępna za darmo. Wykup konto Premium, aby uzyskać dostęp do całej zawartości serwisu 🙂
DYSKUSJA
opinia do odpowiedzi undefined
Maja

6 lutego 2019
dzieki
klasa:
4 szkoły podstawowej
Informacje
Autorzy: Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab, Elżbieta Świda
Wydawnictwo: OE Pazdro
Rok wydania:
ISBN: 9788375940800
Autor rozwiązania
user profile

Nauczyciel

Wiedza
Ciąg geometryczny i jego suma
Temat ten jest bardzo podobny do obliczania sumy ciągu arytmetycznego, lecz w przypadku ciągu geometrycznego musi wykonać więcej obliczeń.

Jak pamiętamy ciąg to ponumerowane liczby. Dodatkowy wiemy, że ciąg geometryczny to taki gdzie iloraz pomiędzy kolejnymi wyrazami jest zawsze taki sam.

Mamy przykładowy ciąg:

$a_n=2,4,8,16,32,x$

Gołym okiem widać, że ciągle jest mnożony przez 2, zatem nasz x będzie wynosić 64, bo $32*2=64$

Jednak i tu nie jest tak łatwo jeśli mamy ciąg takiej postaci:

$a_n=1/3,-1/5,3/{2}5,-9/{25},x$

Przykład:

Znajdź $x$ w ciągu $a_n=1/3,-1/5,3/{2}5,-9/{25},x$. Musimy najpierw znaleźć jaki iloraz został tutaj użyty, zatem wprowadźmy wzór na dowolny wyraz ciągu geometrycznego:

$a_n=a_1×q^(n-1)$

Podstawmy tu wyraz numer 2:

Czyli $n=2$

$a_2=a_1×q^(2-1)$

Nasze wyrazy to:

$a_1=1/3$

$a_2=-1/5$

Podstawiamy do wzoru:

$a_2=a_1×q^1$

W celu usunięcia ułamków

$-1/5=1/3×q$ $|×15$

$-3=5×q$ $|:(-3)$

$q=-5/3$


Obliczmy teraz bez problemu wyraz numer 5:

$a_5=a_1×q^(5-1)$

$a_5=a_1×q^4$

$a_5=1/3×(-5/3)^4$

$a_5=1/3×-{625}/{81}=-{625}/{243}$


Ciąg geometryczny ma również własność wyrazu środkowego - kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wartości sąsiednich wyrazów, czyli:

$a_{n-1}$, $a_n$, $a_{n+1}$ -> trzy kolejne wyrazy

$a_n^2=a_{n-1}×a_{n+1}$

 

Suma ciągu geometrycznego


W celu obliczenia sumy ciągu geometrycznego potrzebujemy następujących danych:
  • Pierwszy wyraz: $a_1$
  • Ilość wyrazów, których sumę liczymy: $N$
  • Iloraz: $q$

Wzór na sumę wygląda następująco:

$S_N={a_1(1-q^N)}/{1-q}$

Przykład:

Oblicz sumę pierwszych 7 wyrazów ciągu geometrycznego, gdzie ostatni wyraz to $a_7=81$, a iloraz to $q=3$.

Potrzebujemy podstawy, zatem obliczmy $a_1$ z wzoru na dowolny wyraz:

$a_N=a_1×q^{N-1}$

$a_7=a_1×q^6$

Podstawmy: $81=a_1×3^6$

81 również jest potęgą trójki, więc zamiast bawić się w duże liczby zróbmy tak:

$3^4=a_1×3^6$ $|:3^6$

Z własności dzielenia potęg:

$3^{-2}=a_1$

$1/9=a_1$

Wiemy, że N=7, bo 7 wyrazów, więc liczymy sumę:

$S_N={a_1 (1-q^N)}/{1-q}$

$S_7={1/9(1-3^7)}/{1-3}$

$S_7={1/9(1-3^7)}/{1-3}$

$S_7={1/9(-2186)}/{-2}$

$S_7={-{2186}/9}/{-2}$

$S_7={2186}/{18}$
 

Uwaga!

Powyższe wzory są zawarte w karcie wzorów.

Wzór na dowolny wyraz jest uniwersalny, działa dla każdego ciągu geometrycznego.
 
Ciąg arytmetyczny i geometryczny
Jak pamiętamy ciąg to dla nas po prostu ciąg liczb, czyli ponumerowane liczby, które znajdują się w jakimś ściśle określonym szyku. Tutaj opiszę dwa konkretne szyki, które mają specjalne własności - ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.

Czym się wyróżniają spośród tej masy liczb?


Ciąg arytmetyczny to tak uporządkowane liczby, że między dwiema kolejnymi liczbami jest stała różnica.

Czyli ciągiem arytmetycznym będą:
  • $a_n=1,2,3,4,5 $
  • $a_n=-2,-4,-6,-8$
  • $a_n=0,2/3, 4/3,2, 8/3$
ale już nie:

$a_n=1,3,3,3,5$ , ponieważ najpierw mamy różnicę 2 ($3-1=2)$,a potem 0 $(3-3=0)$

w ten sam sposób ciągiem arytmetycznym NIE jest:

$a_n=0,-2,2,-2,2$ najpierw różnica jest -2, bo $(0-2)=-2$, następnie 4, $(2-(-2)=4)$ więc ciąg nie jest już arytmetyczny.

Ok. Wszystko ładnie pięknie, ale jak wiemy nikt nam nie będzie tak pięknie życia ułatwiał i wzory będą podawane na przykład w postaci:

$a_n=4n+5$
Oczywiście możemy podstawiać liczby pod n i sprawdzać czy różnica się zmienia: $a_1=4×1+5=9 $ $a_2=4×2+5=13 $ $a_3=4×3+5=17$ I jak widać różnica zawsze będzie o 4, ale pozostaje jedna kwestia, nie zawsze przykłady będą tak proste i nie będziemy mieli pewności, czy przy wyrazie nr 343553 różnica nie zacznie się zmieniać. Trzeba więc to udowodnić.

Przykład:

Sprawdź czy ciąg $a_n=4n+5$ jest arytmetyczny.

Musimy pokazać, że dla dowolnych dwóch kolejnych liczb ich różnica jest stała. Jak oznaczyć liczbę dowolną? Twórca zadania zrobił to za nas. Oznaczmy ją jako $a_n$, musimy mieć kolejne, zatem druga musi być o 1 większa czyli nasze dwie dowolne kolejne liczby to:
$a_n$, $a_{n+1}$

Chcemy policzyć różnicę $a_{n+1}$ oraz $a_n$, więc musimy wypisać odjemną i odjemnik. Dla n oczywiście wszystko jest bez zmian:
$a_n=4n+5$
Teraz dla n+1
$a_{n+1}=4(n+1)+5$
W tym przypadku zwróćmy uwagę na to, że podstawiamy n+1, więc musi być w nawiasie jeśli chodzi o mnożenie:

$a_{n+1}=4n+4+5=4n+9$

Teraz liczymy różnicę czyli musimy odjąć te wyrazy od siebie:

$r=a_{n+1}-a_n$

Pamiętamy, że $a_n$ jest równe $4n+5$ i musimy odjąć je jako całość czyli nie piszemy $-4n+5$ tylko $–(4n+5)$.

$r=4n+9-(4n+5)$

$r=4n+9-4n-5$

$r=4$

Widzimy, że dla dowolnych dwóch wyrazów różnica wynosi 4 i w ogóle nie zależy od $n$.


Różnica nie jest stała jeśli w jakikolwiek sposób zależy od $n$. Pokaże to przykład pewnego ciągu geometrycznego, który nie jest arytmetyczny. Czym jest ciąg geometryczny?

Również specjalnym szykiem liczb, między którymi zachodzi stały iloraz między jedną a drugą, czyli mnożymy o stałą liczbę kolejne wyrazy, ciągami geometrycznymi są więc ciągi:
 
  • $ a_n=1,2,4,8,16$ mnożymy przez 2
  • $ a_n=1,-1,1,-1,1$ mnożymy przez -1
  • $ a_n={1}/{2}, {1}/{6}, 1/{18}, 1/{54}, 1/{162}$ mnożymy przez 1/3
Ale z kolei ciągami geometrycznymi już nie są:

$a_n=1,3,6,7,9$ (ponieważ $3:1=3$, ale już $6:3=2$)

ani $a_n=-2,0,3,5,1$ (ponieważ $0:(-2)=0$, a z kolei $3:0=...$, no cóż sami widzicie, przez zero dzielić nie wolno)

Skoro już wiemy, co to jest ciąg geometryczny, możemy wziąć np. ciąg o wyrazie ogólnym
$a_n=2^n$
I pokazać, że jest geometryczny, a nie jest arytmetyczny.

Dwa kolejne wyrazy tego ciągu to $a_n=2^n$ oraz $a_{n+1}=2^{n+1}$. Policzmy ich iloraz:

${a_{n+1}}/{a_{n}}={2^{n+1}}/{2^{n}}=2$
A zatem iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały (wynosi 2, czyli nie zależy od n), więc ciąg jest geometryczny. Policzmy teraz różnicę dwóch kolejnych wyrazów:

$a_{n+1}-a_{n}=2^{n+1}-2^{n}=2×2^{n}-2^{n}=2^{n}$
A zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów zależy od n, więc ciąg nie jest arytmetyczny.


Inny przykład: Sprawdź czy ciąg $a_n=-4n^2+3$ jest geometryczny.

Bierzemy znów dwie kolejne liczby $a_n$, $a_{n+1}$.

Standardowo podstawiamy. Dla n dostajemy wzór na wyraz ogólny ciągu:

$a_n=-4n^2+3$

a dla n+1 dostajemy

$a_{n+1}=-4(n+1)^2+3$

$a_{n+1}=-4(n^2+2n+1)+3$

$a_{n+1}=-4n^2-8n-4+3$

$a_{n+1}=-4n^2-8n-1$

Musimy teraz policzyć,

${a_{n+1} }/{a_n} ={-4n^2-8n-1}/{-4n^2+3}$

Uwaga! Ta postać jest dość trudna, proszę skupić się na tym poniżej:

Musimy każdy z tych członów rozbić do prostszych postaci i sprawdzić czy się skrócą, pomoże nam tutaj postać iloczynowa funkcji kwadratowej, najpierw mianownik (szukamy miejsc zerowych):

$-4n^2+3$

$-4n^2+3=0$

$-4n^2=-3$ $|:(-4)$

$n^2=3/4$

$n={√{3} }/{2}$ v $n=-{√3}/{2}$

Zatem:

$-4n^2+3=-4(n-{√3}/{2})(n+{√3}/{2})$

Teraz licznik:

$-4n^2-8n-1$

Tutaj standardowo zabawimy się z deltą:

$a=-4$

$b=-8$

$c=-1$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=(-8)^2-4×(-4)×(-1)$

$∆=64+16$

$∆=80$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$√{∆}=√{80}=√{16×5}=4√{5}$



No i teraz nasze rozwiązania:

$n_1={-b+√{∆} }/{2a}$

$n_1={-8+4√5}/{-8}={2+√5}/2$

$n_2={-b-√{∆} }/{2a}$

$n_2={-8-4√5}/{-8}={2-√5}/2$ Zatem:

$-4n^2-8n-1=-4(n-{2-√5}/2)(n-{2+√5}/2)$



Podstawmy nasze ciężkie równania do ułamka:

${a_{n+1} }/{a_n} ={-4n^2-8n-1}/{-4n^2+3}$
${a_{n+1} }/{a_n} ={-4(n-{2-√5}/2)(n-{2+√5}/{2} ) }/{-4(n-{√3}/{2} )(n+{√3}/{2})} $

Jak widać nic nam się tu nie skraca, a skoro w ilorazie jest nadal liczba n to znaczy, że nie jest on geometryczny, bo iloraz nie jest stały (zależy od n).

 

Uwaga!

- Jeśli z różnych przyczyn n, n+1 będą dość trudne do podstawienia możemy wybrać dwa dowolne inne wyrazy do podstawienia, nawet $2n+1,2n+2$, ważne żeby były kolejne.
- Jeśli mamy do obliczenia ciąg geometryczny, w którym są wzory skróconego mnożenia, warto ich nie rozbijać przedwcześnie.
 
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY2693ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA6646WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE734KOMENTARZY
komentarze
... i8420razy podziękowaliście
Autorom