Rozwiąż nierówności:- Zadanie 6.118: Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Skorzystamy z własności wartości bezwzględnej:

$\frac{a}{b} = \frac{∣ a ∣}{∣ b ∣}, b \neq = 0$

a) Doprowadzimy oba trójmiany do postaci iloczynowej:

$x^{2} + 9 x + 8 = x^{2} + x + 8 x + 8 = x (x + 1) + 8 (x + 1) = (x + 1) (x + 8)$

$x^{2} - 9 x + 8 = x^{2} - x - 8 x + 8 = x (x - 1) - 8 (x - 1) = (x - 1) (x - 8)$

Założenia:

$x - 1 \neq = 0 \land x - 8 \neq = 0$

$x \neq = 1 \land x \neq = 8$

$\frac{∣ x + 1 ∣ \cdot ∣ x + 8 ∣}{∣ x - 1 ∣ \cdot ∣ x - 8 ∣} \geq 1$

$∣ x + 1 ∣ \cdot ∣ x + 8 ∣ \geq ∣ x - 1 ∣ \cdot ∣ x - 8 ∣$

$Dla x \in (- \infty, - 8)$

$- (x + 1) \cdot (- (x + 8)) \geq - (x - 1) \cdot (- (x - 8))$

$(x + 1) (x + 8) \geq (x - 1) (x - 8)$

$x^{2} + 9 x + 8 \geq x^{2} - 9 x + 8$

$18 x \geq 0$

$x \geq 0$

Brak rozwiązań.

$Dla x \in [- 8, - 1)$

$- (x + 1) (x + 8) \geq - (x - 1) \cdot (- (x - 8))$

$- (x + 1) (x + 8) \geq (x - 1) (x - 8)$

$- (x^{2} + 9 x + 8) \geq x^{2} - 9 x + 8$

$- x^{2} - 9 x - 8 \geq x^{2} - 9 x + 8$

$- 16 \geq 2 x^{2}$

$- 8 \geq x^{2}$

Brak rozwiązań

$Dla x \in [- 1, 1)$

$(x + 1) (x + 8) \geq - (x - 1) \cdot (- (x - 8))$

$(x + 1) (x + 8) \geq (x - 1) (x - 8)$

$x^{2} + 9 x + 8 \geq x^{2} - 9 x + 8$

$18 x \geq 0$

Uwzględniając badany przedział otrzymujemy, że:

$x \in [0, 1)$

$Dla x \in (1, 8)$

$(x + 1) (x + 8) \geq (x - 1) \cdot (- (x - 8))$

$x^{2} + 9 x + 8 \geq - (x^{2} - 9 x + 8)$

$x^{2} + 9 x + 8 \geq - x^{2} + 9 x - 8$

$2 x^{2} \geq - 16$

$x^{2} \geq - 8$

Cały badany przedział należy do rozwiązania.

$x \in (1, 8)$

$Dla x \in (8, \infty)$

$(x + 1) (x + 8) \geq (x - 1) (x - 8)$

$x^{2} + 9 x + 8 \geq x^{2} - 9 x + 8$

$18 x \geq 0$

$x \geq 0$

Uwzględniając badany przedział otrzymujemy, że:

$x \in (8, \infty)$

Rozwiązaniem nierówności jest:

$x \in [0, 1) \cup (1, 8) \cup (8, \infty)$

Treść dostępna tylko dla użytkowników z aktywnym Premium

Odrabiamy Premium

Jeden dostęp. Zadania, kursy wideo i wsparcie AI.

39 zł

Rozpocznij Premium

Opracowania zadań z ponad 3000 podręczników – przygotowane przez nauczycieli

Ponad 100 kursów wideo do sprawdzianów, E8 i matury

Odrabiak Pro – interaktywna nauka z każdym szkolnym podręcznikiem

Gotowe notatki, tablice edukacyjne i sprawdziany

Ernest Jamka

Nauczyciel matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.