Skorzystajmy z założenia:

$a+b=1$  

stąd:

$a=1-b$

a więc:

$\frac{a}{b^3-1}-\frac{b}{a^3-1}=\frac{a}{\left(b-1\right)\left(b^2+b+1\right)}-\frac{b}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}=\frac{a}{-a\left(b^2+b+1\right)}-\frac{b}{-b\left(a^2+a+1\right)}$

Zauważmy, że skoro:

$a+b=1\wedge a,b\ne 1\Rightarrow a,b\ne 0$  

dzieje się tak z uwagi na fakt, że gdyby któraś z wielkości byłaby równa 0, to druga musiałaby być równa 1 żeby założenie było spełnione.