I sposób:

$5\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)+6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge 22$  

$5\left(\frac{a^4+b^4}{{\left(ab\right)}^2}\right)+6\cdot \left(\frac{a^2+b^2}{ab}\right)\ge 22$  

$5\cdot \frac{{\left(a^2-b^2\right)}^2+2{\left(ab\right)}^2}{{\left(ab\right)}^2}+6\cdot \frac{{\left(a-b\right)}^2+2ab}{ab}\ge 22$  

$5\cdot \left(\frac{{\left(a^2-b^2\right)}^2}{{\left(ab\right)}^2}+2\right)+6\cdot \left(\frac{{\left(a-b\right)}^2}{ab}+2\right)\ge 22$  

$\frac{5{\left(a^2-b^2\right)}^2}{{\left(ab\right)}^2}+10+6\cdot \frac{{\left(a-b\right)}^2}{ab}+12\ge 22$  

$\frac{5{\left(a^2-b^2\right)}^2}{{\left(ab\right)}^2}+\frac{6{\left(a-b\right)}^2}{ab}+22\ge 22$  

$\frac{5{\left(a^2-b^2\right)}^2}{{\left(ab\right)}^2}+\frac{6{\left(a-b\right)}^2}{ab}\ge 0$  

Z założenia wiemy, że:

$a,b>0\Rightarrow ab>0$  

Zatem oba ułamki są dodatnie. Nierówność jest prawdziwa.


II sposób:

Korzystamy z nierówności:

$x+\frac{1}{x}\ge 2$  

$x\ne 0$  

$5\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)+6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge 5\cdot 2+6\cdot 2\ge 10+12\ge 22$