Rozwiąż nierówności:- Zadanie 5.239: Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a) 3 x^{2} \leq x^{3} - 4 x$

Wyznaczmy miejsca zerowe wyrażenia w wartości bezwzględnej:

$x^{3} - 4 x = x (x^{2} - 4) = (x + 2) \cdot x (x - 2)$

$Dla x \in (- \infty, - 2)$

Wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne zatem opuszczamy wartość bezwzględną z minusem.

$3 x^{2} \leq - (x^{3} - 4 x)$

$3 x^{2} \leq - x^{3} + 4 x$

$x^{3} + 3 x^{2} - 4 x \leq 0$

$x (x^{2} + 3 x - 4) \leq 0$

$x (x^{2} - x + 4 x - 4) \leq 0$

$x (x (x - 1) + 4 (x - 1)) \leq 0$

$x (x - 1) (x + 4) \leq 0$

$x_{1} = 0 \lor x_{2} = 1 \lor x_{3} = - 4$

$x \in (- \infty, - 4] \cup [0, 1]$

Uwzględniając założenie pod którym rozpatrujemy nierówność otrzymujemy, że:

$x \in (- \infty, - 4]$

$Dla x \in [- 2, 0)$

Wyrażenie pod wartością bezwzględną jest dodatnie zatem opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku.

$3 x^{2} \leq x^{3} - 4 x$

$x^{3} - 3 x^{2} - 4 x \geq 0$

$x (x^{2} - 3 x - 4) \geq 0$

$x (x^{2} + x - 4 x - 4) \geq 0$

$x [x (x + 1) - 4 (x + 1)] \geq 0$

$x (x + 1) (x - 4) \geq 0$

$x_{1} = 0 \lor x_{2} = - 1 \lor x_{3} = 4$

$x \in [- 1, 0] \cup [4, \infty)$

Uwzględniając założenie pod którym rozpatrujemy nierówność otrzymujemy, że:

$x \in [- 1, 0)$

$Dla x \in [0, 2)$

Wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne zatem opuszczamy wartość bezwzględną z minusem.

$3 x^{2} \leq - (x^{3} - 4 x)$

Obliczyliśmy już wcześniej, że rozwiązaniem tej nierówności jest:

$x \in (- \infty, - 4] \cup [0, 1]$

Uwzględniając założenie otrzymujemy, że:

$x \in [0, 1]$

$Dla x \in [2, \infty)$

Wyrażenie pod wartością bezwzględną jest dodatnie zatem opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku.

$3 x^{2} \leq x^{3} - 4 x$

Obliczyliśmy już wcześniej, że rozwiązaniem tej nierówności jest:

$x \in [- 1, 0] \cup [4, \infty)$

Uwzględniając założenie otrzymujemy, że:

$x \in [4, \infty)$

Finalnym rozwiązaniem jest suma wszystkich poszczególnych rozwiązań uzyskanych pod odpowiednimi założeniami:

$x \in (- \infty, - 4] \cup [- 1, 0) \cup [0, 1] \cup [4, \infty)$

$x \in (- \infty, - 4] \cup [- 1, 1] \cup [4, \infty)$

Treść dostępna tylko dla użytkowników z aktywnym Premium

Odrabiamy Premium

Jeden dostęp. Zadania, kursy wideo i wsparcie AI.

39 zł

Rozpocznij Premium

Opracowania zadań z ponad 3000 podręczników – przygotowane przez nauczycieli

Ponad 100 kursów wideo do sprawdzianów, E8 i matury

Odrabiak Pro – interaktywna nauka z każdym szkolnym podręcznikiem

Gotowe notatki, tablice edukacyjne i sprawdziany

Ernest Jamka

Nauczyciel matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.