$a)\left|x^3-1\right|\le x^2+x+1$  

- Ze wzoru na różnicę sześcianów wiemy, że:

$x^3-1=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)$  

Zatem:

$\left|\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\right|\le x^2+x+1$  

- Z własności wartości bezwzględnej:

$\left|ab\right|=\left|a\right|\cdot \left|b\right|$  

a więc:

$\left|x-1\right|\cdot \left|x^2+x+1\right|\le x^2+x+1$

- Zauważmy, że trójmian

$x^2+x+1$  

jest stale większy od 0 z uwagi na fakt, że jego wyróżnik jest mniejszy od 0:

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4<0$  

A więc możemy opuścić wartość bezwzględną dla tego trójmianu:

$\left|x-1\right|\cdot \left(x^2+x+1\right)\le x^2+x+1\mid :\left(x^2+x+1\right)$  

Skoro trójmian jest stale większy od 0 to możemy przez niego podzielić nierówność.

$\left|x-1\right|\le 1$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$-1\le x-1\le 1\mid +1$