Rozwiąż nierówności:- Zadanie 5.229: Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a) (x^{2} - 4) (x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 6 x + 8) (x^{2} + 4 x + 4) < 0$

$(x - 2) (x + 2) (x - 2)^{2} (x^{2} - 2 x - 4 x + 8) (x + 2)^{2} < 0$

$(x - 2) (x + 2) (x - 2)^{2} [x (x - 2) - 4 (x - 2)] (x + 2)^{2} < 0$

$(x - 2) (x + 2) (x - 2)^{2} (x - 2) (x - 4) (x + 2)^{2} < 0$

$(x - 2)^{4} (x + 2)^{3} (x - 4) < 0$

$x_{1} = 2 \lor x_{2} = - 2 \lor x_{3} = 4$

Pierwiastkiem parzystym jest liczba:

$2$

Pierwiastkami nieparzystymi są liczby:

$- 2, 4$

Wykres pomocniczy:

Rozwiązaniem jest ta część wykresu znajdująca się poniżej osi OX.

$x \in (- 2, 2) \cup (2, 4)$

$b) (2 x^{2} - x - 5) (x^{2} - 9) (x^{2} - 3 x) \leq 0$

$(2 x^{2} - x - 5) (x - 3) (x + 3) \cdot x (x - 3) \leq 0$

$x (2 x^{2} - x - 5) (x - 3)^{2} (x + 3) \leq 0$

$x_{1} = 0 \lor x_{2} = 3 \lor x_{3} = - 3$

Obliczmy wyróżnik trójmianu kwadratowego by poznać pozostałe pierwiastki

$2 x^{2} - x - 5$

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5) = 1 + 40 = 41$

$Δ = 41$

$x_{4} = \frac{1 - 41}{4} \lor x_{5} = \frac{1 + 41}{4}$

Wiemy, że:

$36 < 41 < 49$

$6 < 41 < 7$

A więc:

$- 2 < \frac{1 - 41}{4} < - 1$

$1 < \frac{1 + 41}{4} < 2$

A więc:

$- 3 < \frac{1 - 41}{4} < 0 < \frac{1 + 41}{4} < 3$

Jedynym pierwiastkiem parzystym jest liczba 3. Wykres pomocniczy:

Rozwiązaniem jest ta część wykresu, która leży poniżej lub na osi OX:

$x \in [- 3, \frac{1 - 41}{4}] \cup [0, \frac{1 + 41}{4}] \cup {3}$

$c) (x^{2} + 3 x + 2) (2 x^{2} + 7 x - 4) (9 - x^{2}) > 0$

$(x^{2} + x + 2 x + 2) (2 x^{2} - x + 8 x - 4) (3 - x) (3 + x) > 0$

$[x (x + 1) + 2 (x + 1)] \cdot [x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1)] (3 - x) (3 + x) > 0$

$(x + 1) (x + 2) (2 x - 1) (x + 4) (3 - x) (3 + x) > 0$

$x_{1} = - 1 \lor x_{2} = - 2 \lor x_{3} = \frac{1}{2} \lor x_{4} = - 4 \lor x_{5} = 3 \lor x_{6} = - 3$

Wykres pomocniczy:

Ta część wykresu, która znajduje się powyżej osi OX jest rozwiązaniem naszej nierówności:

$x \in (- 4, - 3) \cup (- 2, - 1) \cup (\frac{1}{2}, 3)$

$d) (3 x^{2} - 5 x + 2) (5 - 2 x) (x^{2} + 1) > 0 ∣ : (x^{2} + 1)$

Możemy podzielić przez dwumian kwadratowy gdyż jest stale dodatni.

$(3 x^{2} - 3 x - 2 x + 2) (5 - 2 x) > 0$

$(3 x (x - 1) - 2 (x - 1)) (5 - 2 x) > 0$

$(x - 1) (3 x - 2) (5 - 2 x) > 0$

$x_{1} = 1 \lor x_{2} = \frac{2}{3} \lor x_{3} = \frac{5}{2}$

Wykres pomocniczy:

Część wykresu znajdująca się ponad osią OX jest rozwiązaniem naszej nierówności:

$x \in (- \infty, \frac{2}{3}) \cup (1, \frac{5}{2})$

$e) (x^{2} + x + 6) (x^{2} - 3 x + 8) (x^{2} + x + 1) > 0$

Zauważmy, że wszystkie trójmiany są stale większe od 0 gdyż ich wyróżniki są mniejsze od 0:

$x^{2} + x + 1$

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = - 3 < 0$

$x^{2} - 3 x + 8$

$Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 9 - 32 < 0$

$x^{2} + x + 6$

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 < 0$

A więc nierówność jest spełniona dla wszystkich x rzeczywistych.

$f) (x^{2} + 1) (x - x^{2} - 5) (x^{2} + 2 x + 8) > 0$

$- (x^{2} + 1) (x^{2} - x + 5) (x^{2} + 2 x + 8) > 0$

Zauważmy, że:

$x^{2} - x + 5$

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 < 0$

$x^{2} + 2 x + 8$

$Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 < 0$

A więc nasza nierówność ma postać:

$- (x^{2} + 1) > 0 ∣ : (- 1)$

$x^{2} + 1 < 0$

Suma dowolnej liczby rzeczywistej podniesionej do kwadratu i liczby 1 jest stale większa od 0. Zatem nasza nierówność jest sprzeczna bo nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

Ernest Jamka

Nauczyciel matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.