Zamieniamy podane jednostki na centymetry:

$0,5\text{m}=50\text{cm}$  

$0,4\text{m}=40\text{cm}$  

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

x -  długość boku wyciętego kwadratu w centymetrach

---

Po odcięciu kwadratów i sklejeniu krawędzi, pojemnik będzie miał wymiary  $\left(50-2x\right)\times \left(40-2x\right)\times x.$  

Obliczamy objętość tego pojemnika:

$V=\left(50-2x\right)\cdot \left(40-2x\right)\cdot x=\left(2000-100x-80x+4x^2\right)\cdot x=4x^3-180x^2+2000x$  

Wymiary pojemnika muszą być liczbami dodatnimi, więc zakładamy, że:

$\{\begin{array}{l}50-2x>0\\ 40-2x>0\\ x>0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-2x>-50\mid :\left(-2\right)\\ -2x>-40\mid :\left(-2\right)\\ x>0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x<25\\ x<20\\ x>0\end{array}$  

Zatem:

$x\in \left(0,20\right)$  

Otrzymujemy:

$V\left(x\right)=4x^3-180x^2+2000x,D=\left(0,20\right)$  

---

Chcemy, aby objętość była równa 6 l czyli 6000 cm3, a odpady były jak najmniejsze.

Drugi warunek oznacza tylko tyle, że gdy otrzymamy kilka rozwiązań, to powinniśmy wybrać najmniejsze z nich.

Mamy więc:

$4x^3-180x^2+2000x=6000$  

$4x^3-180x^2+2000x-6000=0\text{/}:4$  

$x^3-45x^2+500x-1500=0\left(\ast \right)$  

---

Niech:

$W\left(x\right)=x^3-45x^2+500x-1500$  

Zauważmy, że:

$W\left(10\right)=1000-4500+5000-1500=0$  

Liczba 10 jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

Oznacza to, że wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-10).

Wykonajmy dzielenie W(x):(x-10) algorytmem Hornera:

	$1$	$-45$	$500$	$-1500$
$10$		$10$	$-350$	$1500$
	$1$	$-35$	$150$	$0$

---

W wyniku dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian P(x)=x-10 otrzymaliśmy iloraz 

$Q\left(x\right)=x^2-35x+150$  

---

Szukamy pierwiastków trójmianu Q(x):

$\Delta =1225-600=625,\sqrt{\Delta }=25$  

$x=\frac{35-25}{2}=5\vee x=\frac{35+25}{2}=30$  

Stąd:

$Q\left(x\right)=\left(x-5\right)\left(x-30\right)$  

oraz:

$W\left(x\right)=\left(x-10\right)\left(x-5\right)\left(x-30\right)$  

Oznacza to, że rozwiązaniami równania (∗) są 

$x=10\in D\vee x=5\in D\vee x=30\notin D$  

Ustaliliśmy wcześniej, że należy wybrać najmniejsze rozwiązanie, stąd:

$x=5\left[\text{cm}\right]$  

---

Odp. Należy wyciąć kwadraty o wymiarach 5 cm x 5 cm.