$\text{a)}10x^3-3x^2-2x+1=0$  

Rozwiązanie powyższego równania jest równoważne wyznaczeniu pierwiastków wielomianu

$W\left(x\right)=10x^3-3x^2-2x+1$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  ma wszystkie współczynniki całkowite, więc spełnia założenia,

twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.

$p\mid 1,$  więc  $p\in \left\{-1,1\right\}$  

$q\mid 10,$  więc  $q\in \left\{-10,-5,-2,-1,1,2,5,10\right\}$  

Zatem:

$\frac{p}{q}\in \left\{-1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{5},-\frac{1}{10},\frac{1}{10},\frac{1}{5},\frac{1}{2},1\right\}$  

Jeżeli wielomian  $W\left(x\right)$  ma pierwiastki wymierne, to znajdują się one w zbiorze:

$\left\{-1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{5},-\frac{1}{10},\frac{1}{10},\frac{1}{5},\frac{1}{2},1\right\}$  

 

Sprawdzamy, czy któraś liczba z powyższego zbioru jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right):$  

$W\left(-1\right)=-10-3+2+1\ne 0$  

$W\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{10}{8}-\frac{3}{4}+1+1=0$  

Liczba  $-\frac{1}{2}$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right).$  

Oznacza to, że wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez dwumian  $\left(x+\frac{1}{2}\right).$  

Wykonajmy dzielenie  $W\left(x\right):\left(x+\frac{1}{2}\right)$  algorytmem Hornera:

	$10$	$-3$	$-2$	$1$
$-\frac{1}{2}$		$-5$	$4$	$-1$
	$10$	$-8$	$2$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)=10x^3-3x^2-2x+1$  przez dwumian  $P\left(x\right)=x+\frac{1}{2}$  

otrzymaliśmy iloraz  $Q\left(x\right)=10x^2-8x+2.$  

Trójmian  $Q\left(x\right)$  nie ma pierwiastków, bo  $\Delta =64-80<0.$  

 

Wynika stąd, że jedynym pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right)$  jest  $x=-\frac{1}{2}.$  

Odp.  $x=-\frac{1}{2}.$  

---

$\text{b)}16x^3-28x^2+4x+3=0$  

Rozwiązanie powyższego równania jest równoważne wyznaczeniu pierwiastków wielomianu

$W\left(x\right)=16x^3-28x^2+4x+3$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  ma wszystkie współczynniki całkowite, więc spełnia założenia,

twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.

$p\mid 3,$  więc  $p\in \left\{-3,-1,1,3\right\}$  

$q\mid 16,$  więc  $q\in \left\{-16,-8,-4,-2,-1,1,2,4,8,16\right\}$  

Zatem:

$\frac{p}{q}\in \left\{-3,-\frac{3}{2},-1,-\frac{3}{4},-\frac{1}{2},-\frac{3}{8},-\frac{1}{4},-\frac{3}{16},-\frac{1}{8},-\frac{1}{16},\frac{1}{16},\frac{1}{8},\frac{3}{16},\frac{1}{4},\frac{3}{8},\frac{1}{2},\frac{3}{4},1,\frac{3}{2},3\right\}$  

Jeżeli wielomian  $W\left(x\right)$  ma pierwiastki wymierne, to znajdują się one w zbiorze:

$\left\{-3,-\frac{3}{2},-1,-\frac{3}{4},-\frac{1}{2},-\frac{3}{8},-\frac{1}{4},-\frac{3}{16},-\frac{1}{8},-\frac{1}{16},\frac{1}{16},\frac{1}{8},\frac{3}{16},\frac{1}{4},\frac{3}{8},\frac{1}{2},\frac{3}{4},1,\frac{3}{2},3\right\}$  

 

Sprawdzamy, czy któraś liczba z powyższego zbioru jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right):$  

$W\left(3\right)=432-252+12+3\ne 0$  

$W\left(\frac{3}{2}\right)=54-63+6+3=0$  

Liczba  $\frac{3}{2}$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right).$  

Oznacza to, że wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez dwumian  $\left(x-\frac{3}{2}\right).$  

Wykonajmy dzielenie  $W\left(x\right):\left(x-\frac{3}{2}\right)$  algorytmem Hornera:

	$16$	$-28$	$4$	$3$
$\frac{3}{2}$		$24$	$-6$	$-3$
	$16$	$-4$	$-2$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)=16x^3-28x^2+4x+3$  przez dwumian  $P\left(x\right)=x-\frac{3}{2}$  

otrzymaliśmy iloraz  $Q\left(x\right)=16x^2-4x-2.$  

 

Szukamy pierwiastków trójmianu  $Q\left(x\right).$  

$\Delta =16+128=144,\sqrt{\Delta }=12$  

$x=\frac{4-12}{32}=-\frac{1}{4}\vee x=\frac{4+12}{32}=\frac{1}{2}$  

 

Zatem wielomian  $W\left(x\right)$  ma następującą postać:

$W\left(x\right)=16\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)$  

 

$W\left(x\right)=0\iff x\in \left\{-\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right\}$  

Odp.  $x\in \left\{-\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right\}.$  

---

$\text{c)}6x^3-13x^2+9x-2=0$  

Rozwiązanie powyższego równania jest równoważne wyznaczeniu pierwiastków wielomianu

$W\left(x\right)=6x^3-13x^2+9x-2$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  ma wszystkie współczynniki całkowite, więc spełnia założenia,

twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.

$p\mid \left(-2\right),$  więc  $p\in \left\{-2,-1,1,2\right\}$  

$q\mid 6,$  więc  $q\in \left\{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6\right\}$  

Zatem:

$\frac{p}{q}\in \left\{-2,-\frac{3}{2},-1,-\frac{2}{3},-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},-\frac{1}{6},\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},1,\frac{3}{2},2\right\}$  

Jeżeli wielomian  $W\left(x\right)$  ma pierwiastki wymierne, to znajdują się one w zbiorze:

$\left\{-2,-\frac{3}{2},-1,-\frac{2}{3},-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},-\frac{1}{6},\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},1,\frac{3}{2},2\right\}$  

 

Sprawdzamy, czy któraś liczba z powyższego zbioru jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right):$  

$W\left(1\right)=6-13+9-2=0$  

Liczba  $1$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right).$  

Oznacza to, że wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez dwumian  $\left(x-1\right).$  

Wykonajmy dzielenie  $W\left(x\right):\left(x-1\right)$  algorytmem Hornera:

	$6$	$-13$	$9$	$-2$
$1$		$6$	$-7$	$2$
	$6$	$-7$	$2$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)=6x^3-13x^2+9x-2$  przez dwumian  $P\left(x\right)=x-1$  

otrzymaliśmy iloraz  $Q\left(x\right)=6x^2-7x+2.$  

 

Szukamy pierwiastków trójmianu  $Q\left(x\right).$  

$\Delta =49-48=1,\sqrt{\Delta }=1$  

$x=\frac{7-1}{12}=\frac{1}{2}\vee x=\frac{7+1}{12}=\frac{2}{3}$  

 

Zatem wielomian  $W\left(x\right)$  ma następującą postać:

$W\left(x\right)=6\left(x-1\right)\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)$  

 

$W\left(x\right)=0\iff x\in \left\{\frac{1}{2},\frac{2}{3},1\right\}$  

Odp.  $x\in \left\{\frac{1}{2},\frac{2}{3},1\right\}.$  

---

$\text{d)}4x^3+2x^2-8x+3=0$  

Rozwiązanie powyższego równania jest równoważne wyznaczeniu pierwiastków wielomianu

$W\left(x\right)=4x^3+2x^2-8x+3$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  ma wszystkie współczynniki całkowite, więc spełnia założenia,

twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.

$p\mid 3,$  więc  $p\in \left\{-3,-1,1,3\right\}$  

$q\mid 4,$  więc  $q\in \left\{-4,-2,-1,1,2,4\right\}$  

Zatem:

$\frac{p}{q}\in \left\{-3,-\frac{3}{2},-1,-\frac{3}{4},-\frac{1}{2},-\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4},1,\frac{3}{2},3\right\}$  

Jeżeli wielomian  $W\left(x\right)$  ma pierwiastki wymierne, to znajdują się one w zbiorze:

$\left\{-3,-\frac{3}{2},-1,-\frac{3}{4},-\frac{1}{2},-\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4},1,\frac{3}{2},3\right\}$  

 

Sprawdzamy, czy któraś liczba z powyższego zbioru jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right):$  

$W\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-4+3=0$  

Liczba  $\frac{1}{2}$  jest pierwiastkiem wielomianu  $W\left(x\right).$  

Oznacza to, że wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez dwumian  $\left(x-\frac{1}{2}\right).$  

Wykonajmy dzielenie  $W\left(x\right):\left(x-\frac{1}{2}\right)$  algorytmem Hornera:

	$4$	$2$	$-8$	$3$
$\frac{1}{2}$		$2$	$2$	$-3$
	$4$	$4$	$-6$	$0$

 

W wyniku dzielenia wielomianu  $W\left(x\right)=4x^3+2x^2-8x+3$  przez dwumian  $P\left(x\right)=x-\frac{1}{2}$  

otrzymaliśmy iloraz  $Q\left(x\right)=4x^2+4x-6.$  

 

Szukamy pierwiastków trójmianu  $Q\left(x\right).$  

$\Delta =16+96=112,\sqrt{\Delta }=4\sqrt{7}$  

$x=\frac{-4-4\sqrt{7}}{8}=-\frac{1+\sqrt{7}}{2}\vee x=\frac{-4+4\sqrt{7}}{8}=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}$  

 

Zatem wielomian  $W\left(x\right)$  ma następującą postać:

$W\left(x\right)=4\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1+\sqrt{7}}{2}\right)\left(x+\frac{1-\sqrt{7}}{2}\right)$  

 

$W\left(x\right)=0\iff x\in \left\{-\frac{1+\sqrt{7}}{2},\frac{1}{2},-\frac{1-\sqrt{7}}{2}\right\}$  

Odp.  $x\in \left\{-\frac{1+\sqrt{7}}{2},\frac{1}{2},-\frac{1-\sqrt{7}}{2}\right\}.$