Skorzystamy z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych:

Jeżeli wielomian  $W\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0,$  gdzie  $a_n\ne 0,a_0\ne 0,$  

o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny , który można zapisać w postaci

ułamka nieskracalnego, to licznik tego ułamka jest dzielnikiem wyrazu wolnego  $a_0,$  natomiast

mianownik - dzielnikiem współczynnika  $a_n$  przy najwyższej potędze zmiennej.

 

$\text{a)}W\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\left(2x^3-x^2-2x+1\right)=\frac{1}{4}P\left(x\right)$  

$P\left(x\right)=2x^3-x^2-2x+1$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  nie jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, więc zapisujemy go w postaci iloczynu

liczby wymiernej i wielomianu o współczynnikach całkowitych  $P\left(x\right).$  Oba wielomiany mają takie same pierwiastki,

więc wystarczy znaleźć pierwiastki wielomianu  $P\left(x\right).$  

Ponieważ wielomian  $P\left(x\right)$  ma wszystkie współczynniki całkowite, to spełnia założenia twierdzenia.

$p\mid 1,$  więc  $p\in \left\{-1,1\right\}$  

$q\mid 2,$  więc  $q\in \left\{-2,-1,1,2\right\}$  

Zatem:

$\frac{p}{q}\in \left\{-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right\}$  

Jeżeli wielomian  $P\left(x\right)$  ma pierwiastki wymierne, to znajdują się one w zbiorze:

$\frac{p}{q}\in \left\{-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right\}$  

 

Sprawdzamy, czy któraś liczba z powyższego zbioru jest pierwiastkiem wielomianu  $P\left(x\right)=2x^3-x^2-2x+1:$  

$P\left(-1\right)=-2-1+2+1=0$  

$P\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1+1\ne 0$  

$P\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-1+1=0$  

$P\left(1\right)=2-1-2+1=0$  

Odp. Pierwiastkami wielomianu  $W\left(x\right)$  są liczby:  $-1,\frac{1}{2},1.$   

---