$f\left(x\right)=x^2-\left(m+1\right)x+m^2-1$  

Jeżeli funkcja kwadratowa ma mieć dwa różne pierwiastki kwadratowe to musi spełniać warunek:

$1)\Delta >0$  

Dodatkowo muszą one spełniać warunek:

$2)\left|x_1\right|+\left|x_2\right|>\sqrt{5}$  

 

Pierwszy warunek:

$\Delta ={\left(-\left(m+1\right)\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(m^2-1\right)={\left(m+1\right)}^2-4m^2+4=m^2+2m+1-4m^2+4=-3m^2+2m+5$  

Sprawdźmy dla jakich m wyróżnik funkcji jest większy od 0:

$-3m^2+2m+5>0$    

$-3m^2-3m+5m+5>0$  

$-3m\left(m+1\right)+5\left(m+1\right)>0$  

$\left(m+1\right)\left(-3m+5\right)>0$  

$m_1=-1\vee m_2=\frac{5}{3}$  

$m\in \left(-1,\frac{5}{3}\right)$