Matematyka

Matematyka na czasie! 3 (Podręcznik, Nowa Era )

Na rysunku obok przedstawiono ostrosłup... 4.63 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

Rysunek pomocniczy:

`H=6\ "cm"` 

Przypomnijmy najpierw, że jeżeli ostrosłup jest ostrosłupem prawidłowym trójkątnym, to wówczas podstawą

ostrosłupa jest trójkąt równoboczny, a spodek wysokości ostrosłupa dzieli wysokości trójkąta z podstawy

na odcinki o długościach równych odpowiednio `2/3h` i `1/3h,`licząc od wierzchołka. Przyda nam się to w dalszej

części zadania.

`"a)"\ alpha=60^@` 

`/_SAW=30^@` 

Zatem trójkąt `ASW` jest połówką trójkąta równobocznego o boku długości `b,` a `H` jest połową długości boku,

czyli mamy:

`H=b/2\ "/"*2`  

`2H=b` 

`b=2*6=12\ "cm"` 

Natomiast odcinek `AS,` który stanowi `2/3` wysokości podstawy, jest wysokością trójkąta równobocznego o boku `b,` 

więc ma długość:

`2/3h=(12sqrt3)/2` 

Wyznaczamy długość odcinka `h:` 

`2/3h=6sqrt3\ "/"*3/2` 

`h=9sqrt3\ "cm"` 

`h` jest wysokością trójkąta w podstawie, więc ze wzoru na tę wysokość możemy wyznaczyć długość krawędzi

podstawy:          

`h=(asqrt3)/2` 

`9sqrt3=(asqrt3)/2\ "/"*2/sqrt3` 

`a=18\ "cm"` 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta `DSW,` wyznaczamy długość wysokości ściany bocznej:

`(1/3h)^2+H^2=k^2` 

`(3sqrt3)^2+6^2=k^2` 

`27+36=k^2`  

`63=k^2` 

`k=3sqrt7\ "cm"` 

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

`P_p=(a^2sqrt3)/4` 

`P_p=(18^2sqrt3)/4=(324sqrt3)/4=81sqrt3\ "cm"^2` 

Obliczamy pole powierzchni bocznej:

`P_b=3*1/2ak` 

`P_b=3/2*18*3sqrt7=81sqrt7\ "cm"^2` 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

`P_c=P_p+P_b` 

`P_c=81(sqrt3+sqrt7)\ "cm"^2` 

Obliczamy objętość:

`V=1/3P_pH` 

`V=1/3*81sqrt3*6=162sqrt3\ "cm"^3`  

Odp. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wynosi `81(sqrt3+sqrt7)\ "cm"^2,` a jego objętość jest równa `162sqrt3\ "cm"^3.`  

 

`"b)"\ alpha=45^@` 

`/_SAW=45^@` 

Zatem trójkąt `ASW` jest połówką kwadratu o boku długości `H.` odcinek `AS,` który stanowi `2/3` wysokości podstawy,

również ma długość `H.` Mamy:

`2/3h=6`  

Wyznaczamy długość odcinka `h:` 

`2/3h=6\ "/"*3/2` 

`h=9\ "cm"` 

`h` jest wysokością trójkąta w podstawie, więc ze wzoru na tę wysokość możemy wyznaczyć długość krawędzi

podstawy:          

`h=(asqrt3)/2` 

`9=(asqrt3)/2\ "/"*2/sqrt3` 

`a=6sqrt3\ "cm"` 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta `DSW,` wyznaczamy długość wysokości ściany bocznej:

`(1/3h)^2+H^2=k^2` 

`3^2+6^2=k^2` 

`9+36=k^2`   

`45=k^2`  

`k=3sqrt5\ "cm"`  

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

`P_p=(a^2sqrt3)/4` 

`P_p=((6sqrt3)^2sqrt3)/4=(36*3sqrt3)/4=27sqrt3\ "cm"^2` 

Obliczamy pole powierzchni bocznej:

`P_b=3*1/2ak` 

`P_b=3/2*6sqrt3*3sqrt5=27sqrt15\ "cm"^2` 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

`P_c=P_p+P_b` 

`P_c=27(sqrt3+sqrt15)\ "cm"^2` 

Obliczamy objętość:

`V=1/3P_pH` 

`V=1/3*27sqrt3*6=54sqrt3\ "cm"^3`  

Odp. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wynosi `27(sqrt3+sqrt15)\ "cm"^2,` a jego objętość jest równa `54sqrt3\ "cm"^3.`  

 

`"c)"\ alpha=30^@` 

`/_SAW=60^@` 

Zatem trójkąt `ASW` jest połówką trójkąta równobocznego o boku długości `b,` a `H` jest wysokością tego trójkąta,

czyli mamy:

`H=(bsqrt3)/2\ "/"*2/sqrt3`  

`(2*6)/sqrt3=b` 

`(12sqrt3)/3=b` 

`b=4sqrt3\ "cm"` 

Natomiast odcinek `AS,` który stanowi `2/3` wysokości podstawy, jest połową boku trójkąta równobocznego

o boku `b,` więc ma długość:

`2/3h=1/2b` 

Wyznaczamy długość odcinka `h:` 

`2/3h=2sqrt3 "/"*3/2` 

`h=3sqrt3\ "cm"` 

`h` jest wysokością trójkąta w podstawie, więc ze wzoru na tę wysokość możemy wyznaczyć długość

krawędzi podstawy:          

`h=(asqrt3)/2` 

`3sqrt3=(asqrt3)/2\ "/"*2/sqrt3` 

`a=6\ "cm"` 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta `DSW,` wyznaczamy długość wysokości ściany bocznej:

`(1/3h)^2+H^2=k^2` 

`sqrt3^2+6^2=k^2` 

`3+36=k^2`  

`39=k^2` 

`k=sqrt39\ "cm"` 

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

`P_p=(a^2sqrt3)/4` 

`P_p=(6^2sqrt3)/4=(36sqrt3)/4=9sqrt3\ "cm"^2` 

Obliczamy pole powierzchni bocznej:

`P_b=3*1/2ak` 

`P_b=3/2*6*sqrt39=9sqrt39\ "cm"^2` 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

`P_c=P_p+P_b` 

`P_c=9(sqrt3+sqrt39)\ "cm"^2` 

Obliczamy objętość:

`V=1/3P_pH` 

`V=1/3*9sqrt3*6=18sqrt3\ "cm"^3`  

Odp. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wynosi `9(sqrt3+sqrt39)\ "cm"^2,` a jego objętość jest równa `18sqrt3\ "cm"^3.`  

DYSKUSJA
Informacje
Autorzy: Karolina Wej, Wojciech Babiański, Ewa Szmytkiewicz, Jerzy Janowicz
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Objętość ostrosłupa

Objętość ostrosłupów liczy się bardzo podobnie, co objętość graniastosłupów. Objętość ostrosłupa jest 3 razy mniejsza od objętości graniastosłupa o tym samym polu podstawy i tej samej wysokości.

objetoscostroslupa
$$ V= 1/3×P_p×H $$
$$ V $$ -> objętość
$$ P_p $$ -> pole podstawy
$$ H $$ -> wysokość ostrosłupa

 
Objętość ostrosłupa
Wzór na objętość ostrosłupa:
$$V = 1/3 P_p H$$

V → objętość ostrosłupa
$$P_p$$ → pole podstawy
H → wysokość
 
Zobacz także
Udostępnij zadanie