Rysunek pomocniczy ściany bocznej ostrosłupa:

  

$\text{a)}$   

$a=6\text{cm}$  

$b=5\text{cm}$  

Obliczamy wysokość ściany bocznej, korzystając z t wierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $DBC:$     

$h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=b^2$  

$h^2+3^2=5^2$  

$h^2=25-9$  

$h^2=16$      

$h=4\text{cm}$  

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa: 

$P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$  

$P_p=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa:

$P_b=3\cdot \frac{1}{2}ah$  

$P_b=\frac{3}{2}\cdot 6\cdot 4=36{\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$P_c=P_p+P_b$  

$P_c=\left(36+9\sqrt{3}\right){\text{cm}}^2$  

Odp. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wynosi  $\left(36+9\sqrt{3}\right){\text{cm}}^2.$  

 

$\text{b)}$  

$a=4\text{cm}$  

$b=5\text{cm}$     

Obliczamy wysokość ściany bocznej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $DBC:$     

$h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=b^2$  

$h^2+2^2=5^2$  

$h^2=25-4$  

$h^2=21$      

$h=\sqrt{21}\text{cm}$  

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa: 

$P_p=a^2$  

$P_p=4^2=16{\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa:

$P_b=4\cdot \frac{1}{2}ah$  

$P_b=2\cdot 4\cdot \sqrt{21}=8\sqrt{21}{\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$P_c=P_p+P_b$  

$P_c=\left(16+8\sqrt{21}\right){\text{cm}}^2$  

Odp. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wynosi  $\left(16+8\sqrt{21}\right){\text{cm}}^2.$  

 

$\text{c)}$  

$a=2\text{cm}$  

$b=4\text{cm}$     

Obliczamy wysokość ściany bocznej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $DBC:$     

$h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=b^2$  

$h^2+1^2=4^2$  

$h^2=16-1$  

$h^2=15$      

$h=\sqrt{15}\text{cm}$  

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa: 

$P_p=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$  

$P_p=\frac{3\cdot 2^2\sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot 4\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}{\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa:

$P_b=6\cdot \frac{1}{2}ah$  

$P_b=3\cdot 2\cdot \sqrt{15}=6\sqrt{15}{\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$P_c=P_p+P_b$  

$P_c=\left(6\sqrt{3}+6\sqrt{15}\right){\text{cm}}^2$  

Odp. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wynosi  $\left(6\sqrt{3}+6\sqrt{15}\right){\text{cm}}^2.$