Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Matematyka

Matematyka na czasie! 3 (Podręcznik, Nowa Era )

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej... 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej...

1
 Zadanie
2
 Zadanie
3
 Zadanie

4
 Zadanie

`"a)"` Rysunek pomocniczy: `[`sześcian z zadania trochę obrócimy, żeby było lepiej widać odpowiednie odcinki`]`    

 

`d=6sqrt3\ "cm"`  

`p=asqrt2` 

Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta `DBH` i wyznaczamy z niego długość krawędzi sześcianu:

`a^2+p^2=d^2` 

`a^2+(asqrt2)^2=(6sqrt3)^2` 

`a^2+2a^2=3*36` 

`3a^2=3*36\ "/":3` 

`a^2=36` 

`a=6\ "cm"` 

Obliczamy objętość sześcianu:

`V=a^3` 

`V=6^3=216\ "cm"^3` 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej sześcianu:

`P_c=6a^2` 

`P_c=6*6^2=6^3=216\ "cm"^2` 

Odp. Sześcian ma objętość równą `216\ "cm"^3` i pole powierzchni całkowitej równe `216\ "cm"^2.` 

 

`"b)"` Rysunek pomocniczy:

`a=9\ "cm"`  

Przypomnijmy, że jeżeli ostrosłup jest czworościanem foremnym, to wówczas podstawą ostrosłupa jest

trójkąt równoboczny, a spodek wysokości ostrosłupa dzieli wysokości trójkąta z podstawy na odcinki o długościach

równych odpowiednio `2/3h` i `1/3h,` licząc od wierzchołka. Ta informacja przyda nam się do obliczenia wysokości

ostrosłupa. Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta `ASW:` 

`(2/3h)^2+H^2=a^2` 

`(2/3*(asqrt3)/2)^2+H^2=a^2` 

`((asqrt3)/3)^2+H^2=a^2` 

`H^2=a^2-a^2/3` 

`H^2=2/3a^2` 

`H=asqrt(2/3)` 

`H=9sqrt(2/3)=3sqrt6\ "m"` 

Obliczamy pole jednej ściany bocznej ostrosłupa:

`P_Delta=(a^2sqrt3)/4` 

`P_Delta=(9^2sqrt3)/4=(81sqrt3)/4\ "cm"^2`   

Obliczamy objętość ostrosłupa:    

`V=1/3P_DeltaH` 

`V=1/3*(81sqrt3)/4*3sqrt6=(81sqrt18)/4=(243sqrt2)/4\ "cm"^3` 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

`P_c=4P_Delta` 

`P_c=4*(81sqrt3)/4=81sqrt3\ "cm"^2`  

Odp. Czworościan foremny ma objętość równą `(243sqrt2)/4\ "cm"^3` i pole powierzchni całkowitej równe `81sqrt3\ "cm"^2.`  

 

`"c)"` Rysunek pomocniczy:

 

`2H=6sqrt2\ "/":2` 

`H=3sqrt2\ "cm"` 

`p=asqrt2` 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta `SCW_2,` wyznaczamy długość krawędzi ośmiościanu:

`H^2+(p/2)^2=a^2` 

`(3sqrt2)^2+((asqrt2)/2)^2=a^2` 

`18+a^2/2=a^2` 

`18=a^2/2\ "/"*2` 

`36=a^2` 

`a=6\ "cm"`  

Obliczamy objętość ośmiościanu foremnego:

`V=2*1/3a^2*H`  

`V=2/3*6^2*3sqrt2=72sqrt2\ "cm"^3` 

Obliczamy pole jednej ściany bocznej ośmiościanu:  

`P_Delta=(a^2sqrt3)/4` 

`P_Delta=(6^2sqrt3)/4=(36sqrt3)/4=9sqrt3\ "cm"^2`   

Obliczamy pole powierzchni całkowitej ośmiościanu:

`P_c=8P_Delta` 

`P_c=8*9sqrt3=72sqrt3\ "cm"^2` 

Odp. Ośmiościan foremny ma objętość równą `72sqrt2\ "cm"^3` i pole powierzchni całkowitej równe `72sqrt3\ "cm"^2.`  

       

 

  

DYSKUSJA
Informacje
Autorzy: Karolina Wej, Wojciech Babiański, Ewa Szmytkiewicz, Jerzy Janowicz
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile

Nauczyciel

Wiedza
Pole powierzchni ostrosłupa

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest sumą pola jego podstawy i pola powierzchni bocznej.

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa to suma pól ścian bocznych.

 

`P_c=P_p+P_b` 

`P_c \ \ ->`   pole powierzchni całkowitej 

`P_p \ \ ->`   pole podstawy 

`P_b \ \ ->`   pole powierzchni bocznej 

Objętość ostrosłupa

Wzór na objętość ostrosłupa:

$$V=1/3 P_p×H$$

Pole podstawy będzie zazwyczaj łatwe do policzenia, gorzej z wysokością, będziemy stosować metody o których wspominałem przy kącie nachylenia (trzeba znaleźć trójkąt, którego jednym z boków jest wysokość ostrosłupa).

Przykład:

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy a=2√2 oraz krawędzi ściany nachylonej do podstawy pod kątem $$60°$$.

Rysunek:

img13
Teraz potrzebujemy połowy przekątnej kwadratu (podstawy):

Wzór na przekątną kwadratu o boku a to:

$$a√2$$

Zatem:

$$a√2=2√2×√2=2×2=4$$

Nasza przekątna ma długość 4, połowa to 2.

img14
Możemy teraz skorzystać z własności trójkąta w celu policzenia wysokości:

img15

Zatem nasza wysokość to:

$$H=2√3$$

A ostatecznie objętość:

$$V=1/3 P_p×H=1/3 (2√2)^2×2√3=1/3×8×2√3={16√3}/3$$
 
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom