Matematyka

Matematyka na czasie! 3 (Podręcznik, Nowa Era )

Ostrosłup prawidłowy trójkątny i graniastosłup... 4.57 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

Ostrosłup prawidłowy trójkątny i graniastosłup...

1
 Zadanie

2
 Zadanie
3
 Zadanie
4
 Zadanie

Rysunek pomocniczy:

`a=6\ "cm"` 

`H=2\ "cm"`  

Aby ocenić, czy pierwsze zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe, obliczymy pola powierzchni całkowitej obu brył. 

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

`P_(Delta_1)=(a^2sqrt3)/4` 

`P_(Delta_1)=(6^sqrt3)/4=(36sqrt3)/4=9sqrt3\ "cm"^2` 

Przypomnijmy, że jeżeli ostrosłup jest ostrosłupem prawidłowym trójkątnym, to wówczas podstawą ostrosłupa jest

trójkąt równoboczny, a spodek wysokości ostrosłupa dzieli wysokości trójkąta z podstawy na odcinki o długościach

równych odpowiednio `2/3h` i `1/3h,` licząc od wierzchołka. Ta informacja przyda nam się w dalszej części zadania.

Do obliczenia pola powierzchni bocznej ostrosłupa potrzebujemy wyznaczyć długość krawędzi bocznej. W tym celu

zapisujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta `SCW:` 

`(3H)^2+(2/3h)^2=b^2` 

`9H^2+(2/3*(asqrt3)/2)^2=b^2` 

`9H^2+a^2/3=b^2` 

`9*2^2+6^2/3=b^2`  

`9*4+36/3=b^2` 

`36+12=b^2` 

`48=b^2` 

`b=4sqrt3\ "cm"` 

Teraz, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta `DCW,` obliczamy wysokość ściany bocznej ostrosłupa:

`k^2+(a/2)^2=b^2` 

`k^2+3^2=(4sqrt3)^2` 

`k^2=48-9` 

`k^2=39` 

`k=sqrt39\ "cm"` 

Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa:

`P_(b_1)=3*1/2ak` 

`P_(b_1)=3/2*6*sqrt39=9sqrt39\ "cm"^2` 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

`P_(c_1)=P_(Delta_1)+P_(b_1)` 

`P_(c_1)=9sqrt3+9sqrt39=9(sqrt3+sqrt39)\ "cm"^2` 

Teraz obliczamy pole podstawy graniastosłupa: `[`suma sześciu pól trójkątów równobocznych`]` 

`P_(p_2)=6P_(Delta_1)` 

`P_(p_2)=6*9sqrt3=54sqrt3\ "cm"^2` 

Obliczamy pole powierzchni bocznej graniastosłupa: `[6` prostokątów o bokach długości `a` i `H]`         

`P_(b_2)=6aH` 

`P_(b_2)=6*6*2=72\ "cm"^2` 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

`P_(c_2)=2P_(p_2)+P_(b_2)` 

`P_(c_2)=2*54sqrt3+72=(72+108sqrt3)\ "cm"^2` 

Przybliżamy pierwszy wynik, aby ocenić prawdziwość zdania:

`P_(c_1)=9(sqrt3+sqrt39)~~9(1,73+6,24)=9*7,97=71,73\ "cm"^2` 

Widzimy, że pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest mniejsze od `72\ "cm"^2,`więc pola powierzchni całkowitej

obu brył na pewno nie są takie same. Pierwsze zdanie jest fałszywe. Należy wpisać F.  

 

Aby ocenić, czy drugie zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe, zapiszemy wzory na objętość dla obu brył. 

Objętość ostrosłupa:

`V_1=1/3*(a^2sqrt3)/4*3H=(a^2sqrt3)/4*H`  

Objętość graniastosłupa:

`V_2=6*(a^2sqrt3)/4*H`  

Widzimy, że `V_2=6V_1,` zatem drugie zdanie jest prawdziwe. Należy wpisać P.

  

  

DYSKUSJA
user profile image
Gość

28-11-2017
Dobre synek dobre
Informacje
Matematyka na czasie! 3
Autorzy: Karolina Wej, Wojciech Babiański, Ewa Szmytkiewicz, Jerzy Janowicz
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Objętość ostrosłupa

Objętość ostrosłupów liczy się bardzo podobnie, co objętość graniastosłupów. Objętość ostrosłupa jest 3 razy mniejsza od objętości graniastosłupa o tym samym polu podstawy i tej samej wysokości.

objetoscostroslupa
$$ V= 1/3×P_p×H $$
$$ V $$ -> objętość
$$ P_p $$ -> pole podstawy
$$ H $$ -> wysokość ostrosłupa

 
Jednostki objętości

Objętość podaje się w jednostkach sześciennych. Podstawowe jednostki objętości to: milimetr sześcienny ($$mm^3$$), centymetr sześcienny ($$cm^3$$), mililitr ($$ml$$), decymetr sześcienny ($$dm^3$$), metr sześcienny ($$m^3$$), litr ($$l$$) i kilometr sześcienny ($$km^3$$).

Przeliczanie jednostek:

  • $$ 1 ml = 0,001 l = 0,000 001 m^3 $$
  • $$1 cm^3 = 0,000 001 m^3 = 1 ml $$ -> $$ 1mm = 1cm3 $$
  • $$1 l = 0,001 m^3 = 1 000 cm3 $$
  • $$1 dm^3 = 0,001 m^3 = 1 l $$ -> $$ 1l = 1dm^3 $$
  • $$1 m^3 = 1 000 l $$
  • $$1 km^3 = 1 000 000 000 m^3 $$
 
Zobacz także
Udostępnij zadanie