Rysunek pomocniczy:

$a=6\text{cm}$  

$H=2\text{cm}$   

Aby ocenić, czy pierwsze zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe, obliczymy pola powierzchni całkowitej obu brył. 

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

$P_{{\Delta }_1}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$  

$P_{{\Delta }_1}=\frac{6^{\sqrt{3}}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$  

Przypomnijmy, że jeżeli ostrosłup jest ostrosłupem prawidłowym trójkątnym, to wówczas podstawą ostrosłupa jest

trójkąt równoboczny, a spodek wysokości ostrosłupa dzieli wysokości trójkąta z podstawy na odcinki o długościach

równych odpowiednio  $\frac{2}{3}h$  i  $\frac{1}{3}h,$  licząc od wierzchołka. Ta informacja przyda nam się w dalszej części zadania.

Do obliczenia pola powierzchni bocznej ostrosłupa potrzebujemy wyznaczyć długość krawędzi bocznej. W tym celu

zapisujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta  $SCW:$  

${\left(3H\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}h\right)}^2=b^2$  

$9H^2+{\left(\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2=b^2$  

$9H^2+\frac{a^2}{3}=b^2$  

$9\cdot 2^2+\frac{6^2}{3}=b^2$   

$9\cdot 4+\frac{36}{3}=b^2$  

$36+12=b^2$  

$48=b^2$  

$b=4\sqrt{3}\text{cm}$  

Teraz, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $DCW,$  obliczamy wysokość ściany bocznej ostrosłupa:

$k^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=b^2$  

$k^2+3^2={\left(4\sqrt{3}\right)}^2$  

$k^2=48-9$  

$k^2=39$  

$k=\sqrt{39}\text{cm}$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa:

$P_{b_1}=3\cdot \frac{1}{2}ak$  

$P_{b_1}=\frac{3}{2}\cdot 6\cdot \sqrt{39}=9\sqrt{39}{\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$P_{c_1}=P_{{\Delta }_1}+P_{b_1}$  

$P_{c_1}=9\sqrt{3}+9\sqrt{39}=9\left(\sqrt{3}+\sqrt{39}\right){\text{cm}}^2$  

Teraz obliczamy pole podstawy graniastosłupa:  $[$ suma sześciu pól trójkątów równobocznych $]$  

$P_{p_2}=6P_{{\Delta }_1}$  

$P_{p_2}=6\cdot 9\sqrt{3}=54\sqrt{3}{\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej graniastosłupa: $[6$  prostokątów o bokach długości  $a$  i  $H]$          

$P_{b_2}=6aH$  

$P_{b_2}=6\cdot 6\cdot 2=72{\text{cm}}^2$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

$P_{c_2}=2P_{p_2}+P_{b_2}$  

$P_{c_2}=2\cdot 54\sqrt{3}+72=\left(72+108\sqrt{3}\right){\text{cm}}^2$  

Przybliżamy pierwszy wynik, aby ocenić prawdziwość zdania:

$P_{c_1}=9\left(\sqrt{3}+\sqrt{39}\right)\approx 9\left(1,73+6,24\right)=9\cdot 7,97=71,73{\text{cm}}^2$  

Widzimy, że pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest mniejsze od  $72{\text{cm}}^2,$ więc pola powierzchni całkowitej

obu brył na pewno nie są takie same. Pierwsze zdanie jest fałszywe. Należy wpisać F.  

 

Aby ocenić, czy drugie zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe, zapiszemy wzory na objętość dla obu brył. 

Objętość ostrosłupa:

$V_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot 3H=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H$   

Objętość graniastosłupa:

$V_2=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H$   

Widzimy, że  $V_2=6V_1,$  zatem drugie zdanie jest prawdziwe. Należy wpisać P.