$f\left(x\right)=\left[x^2-\left(2-k\right)x-2k\right]\left(x-1\right)$  

---

Zbadajmy najpierw dla jakich wartości parametru $k$ wielomian $f$ ma trzy różne pierwiastki.

Widzimy, że jednym pierwiastkiem jest na pewno $x=1.$  

Pozostałe dwa pierwiastki będą pierwiastkami trójmianu kwadratowego $g\left(x\right)=x^2-\left(2-k\right)x-2k.$  

Sprawdźmy, kiedy $g\left(x\right)$ ma dwa różne pierwiastki, czyli kiedy $\Delta >0.$  

$\Delta ={\left(2-k\right)}^2-4\cdot \left(-2k\right)=4-4k+k^2+8k=4+4k+k^2={\left(2+k\right)}^2$  

$\Delta >0\iff \left(2+k\right)>0\iff k\ne -2$  

---

W takim razie wielomian $f\left(x\right)$ ma trzy różne pierwiastki dla $k\ne -2.$