$\text{a)}6+11+16+\dots +101$  

Kolejne wyrazy ciągu to:

$6,11,16,\dots ,101$  

Pierwszy wyraz ciągu to:

$a_1=6$  

Różnica ciągu to:

$r=16-11=5$  

Obliczamy z ilu wyrazów składa się podany ciąg. Znamy ostatni wyraz.

Korzystamy ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot r$  

$101=6+\left(n-1\right)\cdot 5$  

$101=6+5n-5$  

$101=1+5n\mid -1$  

$100=5n\mid :5$  

$n=20$  

Ciąg składa się z 20 wyrazów.

Obliczamy sumę tych wyrazów.

$S_{20}=\frac{a_1+a_{20}}{2}\cdot 20$   

$S_{20}=\frac{6+101}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{20}}^{10}$ $S_{20}=\frac{6+101}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{20}}^{10}$  

$S_{20}=107\cdot 10=1070$  

$\underline{\underline{}}$  

$\text{b)}-4-7-10-\dots -37$   

Kolejne wyrazy ciągu to:

$-4,-7,-10,\dots ,-37$   

Pierwszy wyraz ciągu to:

$a_1=-4$   

Różnica ciągu to:

$r=-10-\left(-7\right)=-10+7=-3$   

Obliczamy z ilu wyrazów składa się podany ciąg. Znamy ostatni wyraz.

Korzystamy ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot r$  

$-37=-4+\left(n-1\right)\cdot \left(-3\right)$   

$-37=-4-3n+3$  

$-37=-1-3n\mid +1$    

$-36=-3n\mid :\left(-3\right)$   

$n=12$   

Ciąg składa się z 12 wyrazów.

Obliczamy sumę tych wyrazów.

$S_{12}=\frac{-4+\left(-37\right)}{2}\cdot 12$   

$S_{12}=\frac{-41}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{12}}^6$   

$S_{12}=-246$    

 

$\underline{\underline{}}$  

$\text{c)}\frac{1}{3}+\frac{4}{3}+\frac{7}{3}+\dots +\frac{25}{3}$   

Kolejne wyrazy ciągu to:

$\frac{1}{3},\frac{4}{3},\frac{7}{3},\dots ,\frac{25}{3}$   

Pierwszy wyraz ciągu to:

$a_1=\frac{1}{3}$   

Różnica ciągu to:

$r=\frac{7}{3}-\frac{4}{3}=\frac{3}{3}=1$   

Obliczamy z ilu wyrazów składa się podany ciąg. Znamy ostatni wyraz.

Korzystamy ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot r$  

$\frac{25}{3}=\frac{1}{3}+\left(n-1\right)\cdot 1$   

$\frac{25}{3}=\frac{1}{3}+n-1$   

$\frac{25}{3}=-\frac{2}{3}+n\mid +\frac{2}{3}$    

$\frac{27}{3}=n$   

$n=9$   

Ciąg składa się z 9 wyrazów.

Obliczamy sumę tych wyrazów.

$S_9=\frac{a_1+a_9}{2}\cdot 9$   

$S_9=\frac{\frac{1}{3}+\frac{25}{3}}{2}\cdot 9$   

$S_9=\frac{\frac{26}{3}}{2}\cdot 9=\frac{26}{{\sout{6}}^2}\cdot {\sout{9}}^3=\frac{78}{2}=39$    

$\underline{\underline{}}$  

$\text{d)}-4,2-4,4-4,6-\dots -27,2$    

Kolejne wyrazy ciągu to:

$-4,2,-4,4,-4,6,\dots ,-27,2$    

Pierwszy wyraz ciągu to:

$a_1=-4,2$   

Różnica ciągu to:

$r=-4,6-\left(-4,4\right)=-4,6+4,4=-0,2$    

Obliczamy z ilu wyrazów składa się podany ciąg. Znamy ostatni wyraz.

Korzystamy ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot r$  

$-27,2=-4,2+\left(n-1\right)\cdot \left(-0,2\right)$   

$-27,2=-4,2-0,2n+0,2$  

$-27,2=-4-0,2n\mid +4$     

$-23,2=-0,2n\mid :\left(-0,2\right)$    

$n=116$   

Ciąg składa się ze 116 wyrazów.

Obliczamy sumę tych wyrazów.

$S_{116}=\frac{-4,2+\left(-27,2\right)}{2}\cdot 116$   

$S_{116}=\frac{-31,4}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{116}}^{58}$   

$S_{116}=-1821,2$