W pierwszej urnie znajduje się 5 kul - 3 białe i 2 czarne. Wybieramy losowo 2 z 5 kul. Obliczmy, na ile sposobów możemy dokonać wyboru:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{\sout{3!}\cdot {\sout{4}}^2\cdot 5}{1\cdot {\sout{2}}^1\cdot \sout{3!}}=10$  

 

Obliczmy, na ile sposobów możemy wylosować 2 białe kule. Losujemy 2 z 3 kul. 

$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=\frac{3!}{2!\cdot 1!}=\frac{\sout{2!}\cdot 3}{\sout{2!}\cdot 1}=3$  

Obliczmy prawdopodobieństwo wylosowania 2 białych kul:

$P\left(\text{wylosowano dwie białe kule}\right)=\frac{3}{10}$  

 

 

Obliczmy, na ile sposobów można wylosować 2 kule różnych kolorów. Wybieramy 1 z 3 białych kul i 1 z 2 czarnych kul. 

$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)=\frac{3!}{1!\cdot 2!}\cdot \frac{2!}{1!\cdot 1!}=\frac{1\cdot {\sout{2}}^1\cdot 3}{1\cdot 1\cdot {\sout{2}}^1}\cdot \frac{1\cdot 2}{1\cdot 1}=3\cdot 2=6$ $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)=\frac{3!}{1!\cdot 2!}\cdot \frac{2!}{1!\cdot 1!}=\frac{1\cdot {\sout{2}}^1\cdot 3}{1\cdot 1\cdot {\sout{2}}^1}\cdot \frac{1\cdot 2}{1\cdot 1}=3\cdot 2=6$  

Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania 2 kul o różnych kolorach:

$P\left(\text{wylosowano dwie kule o roˊz˙nych kolorach}\right)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$  

 

 

Obliczmy, na ile sposobów można wylosować 2 czarne kule. Wybieramy 2 z 2 czarnych kul. 

$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)=\frac{\sout{2!}}{\sout{2!}\cdot 0!}=\frac{1}{0!}=\frac{1}{1}=1$  

Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania 2 czarnych kul:

$P\left(\text{wylosowano dwie czarne kule}\right)=\frac{1}{10}$  

 

Wylosowane kule przekładamy do drugiej urny, w której znajduje się początkowo tyle samo kul białych, co czarnych. Oznaczmy początkową ilość kul białych i czarnych jako n. Na początku w drugiej urnie znajdowało się więc n+n=2n kul. Po dołożeniu 2 kul w drugiej urnie znajdowało się 2n+2 kul. 

Oznaczmy zdarzenie:

$A-\text{wylosowano białą kulę}$  

Wykonajmy drzewko i zaznaczmy gałęzie opisujące zdarzenie A. 

$P\left(A\right)=\frac{3}{10}\cdot \frac{n+2}{2n+2}+\frac{3}{5}\cdot \frac{n+1}{2n+2}+\frac{1}{10}\cdot \frac{n}{2n+2}$  

 

Wiemy, że powyższe prawdopodobieństwo wynosi 8/15, możemy więc zapisać równanie: 

$\frac{3}{10}\cdot \frac{n+2}{2n+2}+\frac{3}{5}\cdot \frac{n+1}{2n+2}+\frac{1}{10}\cdot \frac{n}{2n+2}=\frac{8}{15}\mid \cdot 30$  

$9\cdot \frac{n+2}{2n+2}+18\cdot \frac{n+1}{2n+2}+3\cdot \frac{n}{2n+2}=16$    

$9\cdot \frac{n+2}{2n+2}+18\cdot \frac{1}{2}+3\cdot \frac{n}{2n+2}=16$  

$9\cdot \frac{n+2}{2n+2}+9+3\cdot \frac{n}{2n+2}=16\mid -9$  

$9\cdot \frac{n+2}{2n+2}+3\cdot \frac{n}{2n+2}=7\mid \cdot \left(2n+2\right)$  

$9\left(n+2\right)+3n=7\left(2n+2\right)$  

$9n+18+3n=14n+14$  

$12n+18=14n+14\mid -14n$  

$-2n+18=14\mid -18$  

$-2n=-4\mid :\left(-2\right)$  

$n=2$  

W drugiej urnie na początku znajdowały się więc 2 czarne i 2 białe kule - razem 4 kule.