$\text{załoz˙enia:}A,B\subset \Omega ,P\left(A\right)=P\left(B\right)=\frac{1}{2}$  

$\text{teza:}P\left(A\cap B\right)=P\left(A{}^{\prime }\cap B{}^{\prime }\right)$ $\text{teza:}P\left(A\cap B\right)=P\left(A{}^{\prime }\cap B{}^{\prime }\right)$

Wykonajmy rysunek pomocniczy i zaznaczmy zbiór A' n B':

Zauważmy, że zachodzi równość:

$A{}^{\prime }\cap B{}^{\prime }=\left(A\cup B\right){}^{\prime }$  

 

Prawdziwa więc jest równość:

$P\left(A{}^{\prime }\cap B{}^{\prime }\right)=P\left(\left(A\cup B\right){}^{\prime }\right)$  

 

Prawą stronę możemy zapisać, wykorzystując własność mówiącą o tym, że prawdopodobieństwo zdarzenia i zdarzenia do niego przeciwnego w sumie dają 1:

$P\left(A{}^{\prime }\cap B{}^{\prime }\right)=1-P\left(A\cup B\right)$  

 

Teraz wystarczy skorzystać ze wzoru wykazanego w zadaniu 1. tego rozdziału:

$P\left(A{}^{\prime }\cap B{}^{\prime }\right)=1-\left(P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)\right)$

 

Po opuszczeniu nawiasu otrzymujemy:

$P\left(A{}^{\prime }\cap B{}^{\prime }\right)=1-P\left(A\right)-P\left(B\right)+P\left(A\cap B\right)$  

 

Podstawmy informacje podane w treści zadania:

$P\left(A{}^{\prime }\cap B{}^{\prime }\right)=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+P\left(A\cap B\right)$  

$P\left(A{}^{\prime }\cap B{}^{\prime }\right)=P\left(A\cap B\right)$