$n-\text{ilosˊcˊ białych kul}$  

$2n-\text{ilosˊcˊ czarnych kul}$  

 

Oczywiście przyjmujemy,  że n jest dodatnią liczbą naturalną (bo oznacza ilość kul).

 

Losujemy bez zwracania 2 kule. Obliczymy, ile jest wszystkich zdarzeń elementarnych:

$\overline{\overline{\Omega }}=\left(\begin{array}{c}n+2n\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3n\\ 2\end{array}\right)=\frac{\left(3n\right)!}{2!\cdot \left(3n-2\right)!}=\frac{\sout{\left(3n-2\right)!}\cdot \left(3n-1\right)3n}{2\cdot \sout{\left(3n-2\right)!}}=\frac{\left(3n-1\right)\cdot 3n}{2}$   

 

 

$A-\text{wylosowano dwie kule jednakowego koloru}$      

Mamy dwie możliwości - wylosowano dwie białe kule lub 2 czarne kule. 

$\overline{\overline{A}}=\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2n\\ 2\end{array}\right)=\frac{n!}{2!\cdot \left(n-2\right)!}+\frac{\left(2n\right)!}{2!\cdot \left(2n-2\right)!}=\frac{\sout{\left(n-2\right)!}\cdot \left(n-1\right)n}{1\cdot 2\cdot \sout{\left(n-2\right)!}}+\frac{\sout{\left(2n-2\right)!}\cdot \left(2n-1\right)2n}{1\cdot 2\cdot \sout{\left(2n-2\right)!}}=\frac{\left(n-1\right)n}{2}+\frac{\left(2n-1\right)2n}{2}=$   

$=\frac{\left(n-1\right)n+\left(2n-1\right)2n}{2}=\frac{n\left(\left(n-1\right)+2\left(2n-1\right)\right)}{2}=\frac{n\left(n-1+4n-2\right)}{2}=\frac{n\left(5n-3\right)}{2}$