Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański , Lech Chańko, Joanna Czarnowska

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Podaj twierdzenie o pierwiastkach wymiernych 4.4 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Podaj twierdzenie o pierwiastkach wymiernych

86
 Zadanie
87
 Zadanie

88
 Zadanie

89
 Zadanie
90
 Zadanie

`ul(ul("twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu"))` 

`"Jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych" ` 

`w(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_2x^2+a_1x+a_0`   

`"ma pierwiastki wymierne postaci"\ p/q,\ "to"\ p\ "jest dzielnikem wyrazu wolnego"\ a_0,` 

`"a"\ q\ "jest dzielnikiem wyrazu przy najwyższej potędze"\ a_n.` 

 

 

 

`a)` 

`#underbrace(2x^3+3x^2+5x+2)_(w(x))=0` 

`"dzielniki wyrazu wolnego"\ (2):\ \ \ -2,\ -1,\ 1,\ 2` 

`"dzielniki wyrazu przy najwyższej potędze"\ (2):\ \ \ -2,\ -1,\ 1,\ 2` 

 

Szukamy pierwiastków wymiernych wielomianu w:

`w(-1/2)=2*(-1/2)^3+3*(-1/2)^2+5*(-1/2)+2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2*(-1/8)+3*1/4-5/2+2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-1/4+3/4-10/4+8/4=0` 

 

Liczba -1/2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+1/2). Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x+1/2)(2x^2+2x+4)=0` 

Szukamy pozostałych pierwiastków równania:

`Delta=2^2-4*2*4=4-32<0` 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. Równanie ma tylko jedno rozwiązanie:

`ul(ul(x=-1/2))` 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`b)` 

`#underbrace(2x^3+x^2-5x+2)_(w(x))=0` 

 

Zauważmy, że wielomian w ma pierwiastek całkowity 1:

`w(1)=2*1^3+1^2-5*1+2=2+1-5+2=0` 

 

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x-1)(2x^2+3x-2)=0` 

 

Szukamy pozostałych pierwiastków równania:

`Delta=3^2-4*2*(-2)=9+16=25` 

`sqrtDelta=5` 

`x_2=(-3-5)/(2*2)=(-8)/4=-2` 

`x_3=(-3+5)/(2*2)=2/4=1/2` 

Równanie ma trzy rozwiązania:

`ul(ul(x in {-1/2;\ 1;\ 2}))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

`c)` 

`#underbrace(2x^3-x^2-x-3)_(w(x))=0` 

`"dzielniki wyrazu wolnego"\ (-3):\ \ \ -3,\ -1,\ 1,\ 3` 

`"dzielniki wyrazu przy najwyższej potędze"\ (2):\ \ \ -2,\ -1,\ 1,\ 2` 

 

 

Szukamy pierwiastków wymiernych wielomianu w:

`w(1/2)=2*(1/2)^3-(1/2)^2-1/2-3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =2*1/8-1/4-1/2-3=`  

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =1/4-1/4-1/2-3=-3 1/2` 

 

`w(3/2)=2*(3/2)^3-(3/2)^2-3/2-3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =2*27/8-9/4-3/2-3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =27/4-9/4-6/4-12/4=0` 

 

Liczba 3/2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-3/2). Wykonajmy dzielenie pisemne:

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x-3/2)(2x^2+2x+2)=0` 

 

Szukamy pozostałych pierwiastków równania:

`Delta=2^2-4*2*2=4-16<0` 

 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. Równanie ma tylko jedno rozwiązanie:

`ul(ul(x=3/2))` 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`d)` 

`#underbrace(3x^3-5x^2+4x+2)_(w(x))=0` 

`"dzielniki wyrazu wolnego"\ (2):\ \ \ -2,\ -1,\ 1,\ 2` 

`"dzielniki wyrazu przy najwyższej potędze:"\ (3):\ \ \ -3,\ -1,\ 1,\ 3` 

Szukamy pierwiastków wymiernych tego wielomianu:

`w(1/3)=3*(1/3)^3-5*(1/3)^2+4*1/3+2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =3*1/27-5*1/9+4/3+2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =1/9-5/9+12/9+18/9ne0` 

  

Liczba 3/2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-3/2). Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x+1/3)(3x^2-6x+6)=0` 

Szukamy pozostałych pierwiastków równania:

`Delta=(-6)^2-4*3*6=36-72<0` 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. Równanie ma tylko jedno rozwiązanie:

`ul(ul(x=-1/3))`