Jeśli liczba a jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu w, to możemy dwukrotnie podzielić wielomian w przez dwumian (x-a). 

 

$a)$  

 

Po dzieleniu otrzymaliśmy trójmian kwadratowy. Oczywiście można by było wykonać drugi raz dzielenie pisemne przez (x+1), ale możemy szybko rozłożyć trójmian na czynniki używając do tego delty. 

 

$w\left(x\right)=\left(x+1\right)\underset{x_2=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3}{\underset{x_1=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1}{\underset{\sqrt{\Delta }=4}{\underset{=4+12=16}{\underset{\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=}{\underbrace{\left(x^2-2x-3\right)}}}}}}=\left(x+1\right)\left(x+1\right)\left(x-3\right)={\left(x+1\right)}^3\left(x-3\right)$ $w\left(x\right)=\left(x+1\right)\underset{x_2=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3}{\underset{x_1=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1}{\underset{\sqrt{\Delta }=4}{\underset{=4+12=16}{\underset{\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=}{\underbrace{\left(x^2-2x-3\right)}}}}}}=\left(x+1\right)\left(x+1\right)\left(x-3\right)={\left(x+1\right)}^3\left(x-3\right)$  

 

$\text{pozostałe pierwiastki wielomianu}w:3$  

 

 

 

 

$b)$  

Wykonujemy dwukrotnie dzielenie pisemne:

              

 

$w\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-2\right)\underset{x_2=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1}{\underset{x_1=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}=-3}{\underset{\sqrt{\Delta }=4}{\underset{=4+12=16}{\underset{\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=}{\underbrace{\left(x^2+2x-3\right)}}}}}}={\left(x-2\right)}^2\left(x+3\right)\left(x-1\right)$  

 

$\text{pozostałe pierwiastki wielomianu}w:-3,1$