Jeśli x₁ jest pierwiastkiem równania, to jest pierwiastkiem wielomianu znajdującego się po lewej stronie wielomianu, więc wielomian jest podzielny przez dwumian x-x₁.

 

$a)$  

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{x^3+2x^2-19x-20}}=0$  

 

Sprawdzamy, czy podana liczba jest pierwiastkiem równania:

$w\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3+2\cdot {\left(-1\right)}^2-19\cdot \left(-1\right)-20=$  

$=-1+2+19-20=0$   

 

Wykonujemy dzielenie pisemne:

 

Możemy zapisać równanie w następującej postaci:

$\left(x+1\right)\left(x^2+x-20\right)=0$  

 

Wyznaczamy pozostałe pierwiastki równania:

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-20\right)=1+80=81$  

$\sqrt{\Delta }=9$  

$x_2=\frac{-1-9}{2}=\frac{-10}{2}=-5$  

$x_3=\frac{-1+9}{2}=\frac{8}{2}=4$  

 

$\underline{\underline{}}$  

 

 

$b)$  

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{x^3-x^2-7x+3}}=0$  

 

Sprawdzamy, czy podana liczba jest pierwiastkiem równania:

$w\left(3\right)=3^3-3^2-7\cdot 3+3=$  

$=27-9-21+3=0$  

 

 

Możemy zapisać równanie w następującej postaci:

$\left(x-3\right)\left(x^2+2x-1\right)=0$  

 

 

 

Wyznaczamy pozostałe pierwiastki równania:

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=4+4=8$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{8}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}$  

$x_2=\frac{-2-2\sqrt{2}}{2}=-1-\sqrt{2}$  

$x_3=\frac{-2+2\sqrt{2}}{2}=-1+\sqrt{2}$  

 

$\underline{\underline{}}$  

 

 

$c)$   

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{x^3-6x^2+11x-6}}=0$  

Sprawdzamy, czy podana liczba jest pierwiastkiem równania:

$w\left(2\right)=2^3-6\cdot 2^2+11\cdot 2-6=$  

$=8-6\cdot 4+22-6=0$  

 

Wykonujemy dzielenie pisemne:

 

Możemy zapisać równanie w następującej postaci:

$\left(x-2\right)\left(x^2-4x+3\right)=0$  

 

 

Wyznaczamy pozostałe pierwiastki równania:

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$  

$\sqrt{\Delta }=2$  

$x_2=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$x_3=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3$  

 

$\underline{\underline{}}$  

 

 

$d)$  

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{8x^3+10x^2-x-3}}=0$   

Sprawdzamy, czy podana liczba jest pierwiastkiem równania:

$w\left(\frac{1}{2}\right)=8\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3+10\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}-3=$  

$=8\cdot \frac{1}{8}+10\cdot \frac{1}{4}-\frac{1}{2}-3=$  

$=1+\frac{5}{2}-\frac{1}{2}-3=$  

$=1+\frac{4}{2}-3=1+2-3=0$  

 

Wykonujemy dzielenie pisemne:

 

Możemy zapisać równanie w następującej postaci:

$\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(8x^2+14x+6\right)=0$  

 

Wyznaczamy pozostałe pierwiastki równania:

$\Delta ={14}^2-4\cdot 8\cdot 6=196-192=4$  

$\sqrt{\Delta }=2$  

$x_2=\frac{-14-2}{2\cdot 8}=\frac{-16}{16}=-1$  

$x_3=\frac{-14+2}{2\cdot 8}=\frac{-12}{16}=-\frac{3}{4}$  

 

$\underline{\underline{}}$  

 

 

$e)$  

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{3x^3+7x^2+11x+3}}=0$   

Sprawdzamy, czy podana liczba jest pierwiastkiem równania:

$w\left(-\frac{1}{3}\right)=3\cdot {\left(-\frac{1}{3}\right)}^3+7\cdot {\left(-\frac{1}{3}\right)}^2+11\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)+3=$  

$=3\cdot \left(-\frac{1}{27}\right)+7\cdot \frac{1}{9}-\frac{11}{3}+3=$  

$=-\frac{1}{9}+\frac{7}{9}-\frac{33}{9}+\frac{27}{9}=0$  

 

Wykonujemy dzielenie pisemne:

 

Możemy zapisać równanie w następującej postaci:

$\left(x+\frac{1}{3}\right)\left(3x^2+6x+9\right)=0$  

Wyznaczamy pozostałe pierwiastki równania:

$\Delta =6^2-4\cdot 3\cdot 9=36-108<0$  

Równanie nie ma innych pierwiastków. 

$\underline{\underline{}}$  

 

 

$f)$  

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{x^3+7x^2+13x+6}}=0$  

Sprawdzamy, czy podana liczba jest pierwiastkiem równania:

$w\left(-2\right)={\left(-2\right)}^3+7\cdot {\left(-2\right)}^2+13\cdot \left(-2\right)+6=$  

$=-8+7\cdot 4-26+6=0$  

 

Wykonujemy dzielenie pisemne:

Możemy zapisać równanie w następującej postaci:

$\left(x+2\right)\left(x^2+5x+3\right)=0$  

Wyznaczamy pozostałe pierwiastki równania:

$\Delta =5^2-4\cdot 1\cdot 3=25-12=13$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{13}$  

$x_2=\frac{-5-\sqrt{13}}{2}$  

$x_3=\frac{-5+\sqrt{13}}{2}$