Matematyka

Rozwiąż równanie 4.5 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a)` 

`#underbrace(2x^3-9x^2-4x-5)_(w(x))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -5. Dzielniki -5 to: -5, -1, 1, 5. Szukamy wśród tych dzielników pierwiastków wielomianu w. 

`w(1)=2*1^3-9*1^2-4*1-5=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =2-9-4-5ne0` 

`w(5)=2*5^3-9*5^2-4*5-5=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =2*125-9*25-20-5=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =250-225-20-5=0` 

Liczba 5 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-5). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x-5)(2x^2+x+1)=0` 

Szukamy pozostałych pierwiastków:

`Delta=1^2-4*2*1=1-8=-7<0` 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków równania. 

Równanie ma tylko jedno rozwiązanie:

`ul(ul(x =5))` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

 

 

`b)` 

`#underbrace(15x^3+8x^2-9x-2)_(w(x))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -2. Dzielniki -2 to: -2, -1, 1, 2. Szukamy wśród tych dzielników pierwiastków wielomianu w. 

`w(1)=15*1^3+8*1^2-9*1-2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =15+8-9-2ne0` 

`w(-2)=15*(-2)^3+8*(-2)^2-9*(-2)-2=` 

` \ \ \ \ \ \ \ \ \ =15*(-8)+8*4+18-2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-120+32+16ne0` 

`w(-1)=15*(-1)^3+8*(-1)^2-9*(-1)-2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-15+8+9-2=0` 

 

Liczba -1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+1). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x+1)(15x^2-7x-2)=0` 

 

Szukamy pozostałych pierwiastków:

 

`Delta=(-7)^2-4*15*(-2)=49+120=169` 

`sqrtDelta=13` 

`x_2=(7-13)/(2*15)=(-6)/30=-1/5` 

`x_3=(7+13)/(2*15)=20/30=2/3` 

 

Równanie ma trzy rozwiązania:

`ul(ul(x in {-1;\ -1/5;\ 2/3}))` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

`c)` 

`#underbrace(6x^3+17x^2-4x-3)_(w(x))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -3. Dzielniki 3 to: -3, -1, 1, 3. Szukamy wśród tych dzielników pierwiastków wielomianu w. 

`w(-3)=6*(-3)^3+17*(-3)^2-4*(-3)-3=`  

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =6*(-27)+17*9+12-3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-162+153+12-3=0`    

Liczba -3 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+3). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

 

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x+3)(6x^2-x-1)=0`  

 

Szukamy pozostałych pierwiastków:

`Delta=(-1)^2-4*6*(-1)=1+24=25` 

`sqrtDelta=5` 

`x_2=(1-5)/(2*6)=(-4)/12=-1/3` 

`x_3=(1+5)/(2*6)=6/12=1/2` 

 

Równanie ma trzy rozwiązania:

`ul(ul(x in {-3;\ -1/3;\ 1/2}))` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

 

`d)` 

`#underbrace(x^4+x^3-4x^2-2x+4)_(w(x))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy 4. Dzielniki 4 to: -4, -2, -1, 1, 2, 4. Szukamy wśród tych dzielników pierwiastków wielomianu w. 

`w(1)=1^4+1^3-4*1^2-2*1+4=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =1+1-4-2+4=0`  

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x-1)(x^3+2x^2-2x-4)=0` 

`(x-1)(x^2(x+2)-2(x+2))=0` 

`(x-1)(x+2)(x^2-2)=0` 

`(x-1)(x+2)(x-sqrt2)(x+sqrt2)=0`

 

Równanie ma cztery rozwiązania:

`ul(ul(x in {-2;\ -sqrt2;\ 1;\ sqrt2}))` 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

`e)` 

`#underbrace(x^4-x^3-7x^2+5x+10)_(w(x))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy 10. Dzielniki 10 to: -10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10. Szukamy wśród tych dzielników pierwiastków wielomianu w. 

`w(1)=1^4-1^3-7*1^2+5*1+10=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =1-1-7+5+10=8ne0` 

`w(2)=2^4-2^3-7*2^2+5*2+10=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =16-8-7*4+10+10=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =16-8-28+10+10=0` 

 

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

 

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x+1)(x^3-2x^2-5x+10)=0` 

`(x+1)(x^2(x-2)-5(x-2))=0` 

`(x+1)(x-2)(x^2-5)=0` 

`(x+1)(x-2)(x-sqrt5)(x+sqrt5)=0` 

Równanie ma więc cztery rozwiązania:

`ul(ul(x in {-sqrt5;\ -1;\ 2;\ sqrt5}))` 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`   

 

`f)` 

`#underbrace(x^4+2x^3-10x^2+10x-75)_(w(x))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy 75. Dzielniki 75 to: -75, -25, -15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15, 25, 75. Szukamy wśród tych dzielników pierwiastków wielomianu w. 

`w(1)=1^4+2*1^3-10*1^2+10*1-75=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =1+2-10+10-75ne0` 

`w(3)=3^4+2*3^3-10*3^2+10*3-75=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =81+2*27-10*9+30-75=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =81+54-90+30-75=0` 

 

Liczba 3 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-3). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x-3)(x^3+5x^2+5x+25)=0` 

`(x-3)(x^2(x+5)+5(x+5))=0` 

`(x-3)(x+5)#underbrace((x^2\ \ +\ \ 5))_(Delta=0^2-4*1*5<0)=0` 

 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. Równanie ma dwa rozwiązania:

`ul(ul(x in {-5;\ 3}))` 

 

 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański , Lech Chańko, Joanna Czarnowska
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Jednostki pola

Jednostki pola służą do określenia pola danej figury, mówią nam ile maksymalnie kwadratów jednostkowych mieści się wewnątrz danej figury.

Jednostką pola może być dowolny kwadrat, jednak najczęściej używane są poniżej przedstawione jednostki pola, które ułatwiają przekazywanie informacji o polach figur:

  • $$1 mm^2$$ (milimetr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 mm jest równe $$1 mm^2$$
  • $$1 cm^2$$ (centymetr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 cm jest równe 1 $$cm^2$$
  • $$1 dm^2$$ (decymetr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 dm jest równe $$1 dm^2$$
  • $$1 m^2 $$(metr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 m jest równe $$1 m^2$$
  • $$1 km^2$$ (kilometr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 km jest równe $$1 km^2$$
  • $$1 a$$ (ar) → pole kwadratu o boku 10 m jest równe 100 $$m^2$$
  • $$1 ha$$ (hektar) → pole kwadratu o boku 100 m jest równe 10000 $$m^2$$

Zależności między jednostkami pola:

  • $$1 cm^2 = 100 mm$$; $$1 mm^2 = 0,01 cm^2$$
  • $$1 dm^2 = 100 cm^2 = 10 000 mm^2$$; $$1 cm^2 = 0,01 dm^2$$
  • $$1 m^2 = 100 dm^2 = 10 000 cm^2 = 1 000 000 mm^2$$; $$1 dm^2 = 0,01 m^2$$
  • $$1 km^2 = 1 000 000 m^2 = 10 000 a = 100 ha$$; $$1 ha = 0,01 km^2$$
  • $$1 a = 100 m^2$$; $$1 m^2 = 0,01 a$$
  • $$1 ha = 100 a = 10 000 m^2$$; $$1 a = 0,01 ha$$

Przykłady wyprowadzania powyższych zależności:

  • $$1 cm^2 = 10mm•10mm=100$$ $$mm^2$$
  • $$1 cm^2 = 0,1dm•0,1dm=0,01$$ $$dm^2$$
  • $$1 km^2 = 1000m•1000m=1000000$$ $$m^2$$
Największy wspólny dzielnik (nwd)

Największy wspólny dzielnik (NWD) dwóch liczb naturalnych jest to największa liczba naturalna, która jest dzielnikiem każdej z tych liczb.

Przykłady:

  • Największy wspólny dzielnik liczb 6 i 9 to liczba 3.

    1. Wypiszmy dzielniki liczby 6: 1, 2, 3, 6;
    2. Wypiszmy dzielniki liczby 9: 1, 3, 9;
    3. Wśród dzielników wyżej wypisanych szukamy największej liczby, która jest zarówno dzielnikiem 6 i 9. Jest to 3.
  • Największy wspólny dzielnik liczb 12 i 20 to liczba 4.

    1. Wypiszmy dzielniki liczby 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12;
    2. Wypiszmy dzielniki liczby 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20;
    3. Wśród dzielników wyżej wypisanych szukamy największej liczby, która jest zarówno dzielnikiem 12 i 20. Jest to 4.
Zobacz także
Udostępnij zadanie