Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański , Lech Chańko, Joanna Czarnowska

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Rozwiąż równanie 4.5 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a)` 

`#underbrace(2x^3-9x^2-4x-5)_(w(x))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -5. Dzielniki -5 to: -5, -1, 1, 5. Szukamy wśród tych dzielników pierwiastków wielomianu w. 

`w(1)=2*1^3-9*1^2-4*1-5=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =2-9-4-5ne0` 

`w(5)=2*5^3-9*5^2-4*5-5=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =2*125-9*25-20-5=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =250-225-20-5=0` 

Liczba 5 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-5). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x-5)(2x^2+x+1)=0` 

Szukamy pozostałych pierwiastków:

`Delta=1^2-4*2*1=1-8=-7<0` 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków równania. 

Równanie ma tylko jedno rozwiązanie:

`ul(ul(x =5))` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

 

 

`b)` 

`#underbrace(15x^3+8x^2-9x-2)_(w(x))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -2. Dzielniki -2 to: -2, -1, 1, 2. Szukamy wśród tych dzielników pierwiastków wielomianu w. 

`w(1)=15*1^3+8*1^2-9*1-2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =15+8-9-2ne0` 

`w(-2)=15*(-2)^3+8*(-2)^2-9*(-2)-2=` 

` \ \ \ \ \ \ \ \ \ =15*(-8)+8*4+18-2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-120+32+16ne0` 

`w(-1)=15*(-1)^3+8*(-1)^2-9*(-1)-2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-15+8+9-2=0` 

 

Liczba -1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+1). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x+1)(15x^2-7x-2)=0` 

 

Szukamy pozostałych pierwiastków:

 

`Delta=(-7)^2-4*15*(-2)=49+120=169` 

`sqrtDelta=13` 

`x_2=(7-13)/(2*15)=(-6)/30=-1/5` 

`x_3=(7+13)/(2*15)=20/30=2/3` 

 

Równanie ma trzy rozwiązania:

`ul(ul(x in {-1;\ -1/5;\ 2/3}))` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

`c)` 

`#underbrace(6x^3+17x^2-4x-3)_(w(x))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -3. Dzielniki 3 to: -3, -1, 1, 3. Szukamy wśród tych dzielników pierwiastków wielomianu w. 

`w(-3)=6*(-3)^3+17*(-3)^2-4*(-3)-3=`  

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =6*(-27)+17*9+12-3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-162+153+12-3=0`    

Liczba -3 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+3). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

 

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x+3)(6x^2-x-1)=0`  

 

Szukamy pozostałych pierwiastków:

`Delta=(-1)^2-4*6*(-1)=1+24=25` 

`sqrtDelta=5` 

`x_2=(1-5)/(2*6)=(-4)/12=-1/3` 

`x_3=(1+5)/(2*6)=6/12=1/2` 

 

Równanie ma trzy rozwiązania:

`ul(ul(x in {-3;\ -1/3;\ 1/2}))` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

 

`d)` 

`#underbrace(x^4+x^3-4x^2-2x+4)_(w(x))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy 4. Dzielniki 4 to: -4, -2, -1, 1, 2, 4. Szukamy wśród tych dzielników pierwiastków wielomianu w. 

`w(1)=1^4+1^3-4*1^2-2*1+4=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =1+1-4-2+4=0`  

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x-1)(x^3+2x^2-2x-4)=0` 

`(x-1)(x^2(x+2)-2(x+2))=0` 

`(x-1)(x+2)(x^2-2)=0` 

`(x-1)(x+2)(x-sqrt2)(x+sqrt2)=0`

 

Równanie ma cztery rozwiązania:

`ul(ul(x in {-2;\ -sqrt2;\ 1;\ sqrt2}))` 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

`e)` 

`#underbrace(x^4-x^3-7x^2+5x+10)_(w(x))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy 10. Dzielniki 10 to: -10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10. Szukamy wśród tych dzielników pierwiastków wielomianu w. 

`w(1)=1^4-1^3-7*1^2+5*1+10=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =1-1-7+5+10=8ne0` 

`w(2)=2^4-2^3-7*2^2+5*2+10=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =16-8-7*4+10+10=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =16-8-28+10+10=0` 

 

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

 

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x+1)(x^3-2x^2-5x+10)=0` 

`(x+1)(x^2(x-2)-5(x-2))=0` 

`(x+1)(x-2)(x^2-5)=0` 

`(x+1)(x-2)(x-sqrt5)(x+sqrt5)=0` 

Równanie ma więc cztery rozwiązania:

`ul(ul(x in {-sqrt5;\ -1;\ 2;\ sqrt5}))` 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`   

 

`f)` 

`#underbrace(x^4+2x^3-10x^2+10x-75)_(w(x))=0` 

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy 75. Dzielniki 75 to: -75, -25, -15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15, 25, 75. Szukamy wśród tych dzielników pierwiastków wielomianu w. 

`w(1)=1^4+2*1^3-10*1^2+10*1-75=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =1+2-10+10-75ne0` 

`w(3)=3^4+2*3^3-10*3^2+10*3-75=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =81+2*27-10*9+30-75=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =81+54-90+30-75=0` 

 

Liczba 3 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-3). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

`(x-3)(x^3+5x^2+5x+25)=0` 

`(x-3)(x^2(x+5)+5(x+5))=0` 

`(x-3)(x+5)#underbrace((x^2\ \ +\ \ 5))_(Delta=0^2-4*1*5<0)=0` 

 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. Równanie ma dwa rozwiązania:

`ul(ul(x in {-5;\ 3}))`