Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. 

---

$\text{a)}$  

Możemy obliczyć, jaką długość ma wysokość, korzystając z funkcji trygonometrycznych:

$\frac{h}{5}=\text{tg}{30}^o$   

$\frac{h}{5}=\frac{\sqrt{3}}{3}\mid \cdot 5$  

$h=\frac{5\sqrt{3}}{3}\left[cm\right]$  

 

Moglibyśmy skorzystać także z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach 90°, 60°, 30°.

Przypomnijmy te zależności:

 

Porównując długości boków przy odpowiednich kątach otrzymujemy:

$x\sqrt{3}=5$  

$h=x=\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\left[cm\right]$  

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej. Składają się na nie pola 2 kwadratów oraz pola 4 prostokątów. 

$P_c=2\cdot 5\cdot 5+4\cdot 5\cdot \frac{5\sqrt{3}}{3}=50+\frac{100\sqrt{3}}{3}=50\left(1+\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)\left[c{m}^2\right]$  

---

$\text{b)}$  

$\frac{5}{h}=\text{tg}{30}^o$  

$\frac{5}{h}=\frac{\sqrt{3}}{3}\mid \cdot h$  

$5=\frac{\sqrt{3}}{3}h\mid \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$  

$h=\frac{15}{\sqrt{3}}=\frac{15\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{15\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3}\left[cm\right]$  

 

Oczywiście korzystając z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach  90°, 60°, 30° także moglibyśmy otrzymać wartość h. 

Mamy wtedy:

$x=5$  

$h=x\sqrt{3}=5\sqrt{3}\left[cm\right]$  

 

Obliczamy pole:

$P_c=2\cdot 5\cdot 5+4\cdot 5\cdot 5\sqrt{3}=50+100\sqrt{3}=50\left(1+2\sqrt{3}\right)\left[c{m}^2\right]$  

---

$\text{c)}$  

$\frac{5}{d}=\sin {30}^o$  

$\frac{5}{d}=\frac{1}{2}\mid \cdot d$  

$5=\frac{1}{2}d\mid \cdot 2$  

$d=10\left[cm\right]$   

 

Znamy wzór na długość przekątnej prostopadłościanu (zwróć uwagę, że graniastosłup czworokątny to po prostu prostopadłościan).

Oznaczmy długość wysokości jako h.

Wtedy mamy:

$\sqrt{5^2+5^2+h^2}=10$  

$\sqrt{25+25+h^2}=10$  

$\sqrt{50+h^2}=10{\mid }^2$  

$50+h^2=100\mid -50$  

$h^2=50$  

$h=\sqrt{50}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{2}=5\sqrt{2}\left[cm\right]$  

 

Obliczamy pole powierzchni graniastosłupa:

$P_c=2\cdot 5\cdot 5+4\cdot 5\cdot 5\sqrt{2}=50+100\sqrt{2}=50\left(1+2\sqrt{2}\right)\left[c{m}^2\right]$