Wykonajmy rysunek pomocniczy. Środek krawędzi B₁C₁ oznaczyliśmy jako E, a środek krawędzi D₁C₁ oznaczyliśmy jako F. 

 

Odcinek FE to przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym FC₁E o przyprostokątnych 2 cm. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość odcinka FE:

$2^2+2^2={\left|FE\right|}^2$  

${\left|FE\right|}^2=4+4$  

${\left|FE\right|}^2=8$  

$\left|FE\right|=\sqrt{8}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}\left[cm\right]$  

 

Odcinek BD to przekątna kwadratu o boku 4 cm. Wiemy, że długość przekątnej kwadratu o boku a dana jest wzorem a√2. 

$\left|BD\right|=4\sqrt{2}\left[cm\right]$  

 

Odcinki BE i DF mają taką samą długość - są przeciwprostokątnymi w trójkątach prostokątnych o przyprostokątnych 2 cm i 4 cm (trójkąty BB₁E oraz DD₁F). Oznaczmy ich długość jako x i obliczmy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$2^2+4^2=x^2$  

$x+16=x^2$  

$x^2=20$  

$x=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\sqrt{5}$  

$\left|BE\right|=\left|DF\right|=2\sqrt{5}\left[cm\right]$  

 

Obliczamy obwód przekroju:

$O=2\sqrt{2}+4\sqrt{2}+2\sqrt{5}+2\sqrt{5}=6\sqrt{2}+4\sqrt{5}\left[cm\right]$  

 

 

$b)$  

Tangens kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej naprzeciw tego kąta do długości drugiej przyprostokąnej. 

$\text{tg}\alpha =\frac{\left|IG\right|}{\left|HI\right|}$  

 

Odcinek IG ma taką samą długość jak bok sześcianu. 

$\left|IG\right|=4\left[cm\right]$  

 

Odcinek HC stanowi połowę przekątnej podstawy, czyli połowę przekątnej kwadratu o boku 4 cm:

$\left|HC\right|=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}=2\sqrt{2}\left[cm\right]$  

 

Odcinek HI to połowa odcinka HC:

$\left|HI\right|=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}=\sqrt{2}\left[cm\right]$  

 

Obliczamy szukaną wartość:

$\text{tg}\alpha =\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$