Matematyka

Matematyka z plusem 2 (Zbiór zadań, GWO)

Oblicz pole i obwód zacieniowanej ... 4.67 gwiazdek na podstawie 9 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Oblicz pole i obwód zacieniowanej ...

16
 Zadanie

17
 Zadanie

18
 Zadanie
19
 Zadanie
20
 Zadanie

W zadaniu bedziemy korzystać ze wzorów:

- pole wycinka koła:

`P_w=alpha/360^"o"*pir^2`

gdzie α - kąt, który wyznacza wycinek koła

- długość łuku:

`l_l=alpha/360^"o"*2pir` 

gdzie r - promień okręgu, α - kąt środkowy oparty na danym łuku

 

a) Zacieniowana figura składa się z dwóch wycinków koła o promieniu 10 m. Obliczmy pola tych wycinków.

P1 - pole większego wycinka koła

P2 - pole mniejszego wycinka koła 

`P_1=(strike45^1^strike"o")/(strike360^8^strike"o")*pi*10^2=1/strike8^2*pi*strike100^25=25/2pi\ [m^2]` 

`P_2=(strike30^1^strike"o")/(strike360^12^strike"o")*pi*10^2=1/strike12^3*pi*strike100^25=25/3pi\ [m^2]` 

Pole zacieniowanej figury to:

`P=P_1+P_2=25/2pi+25/3pi=75/6pi+50/6pi=125/6pi\ [m^2] `

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

Aby obliczyć obwód zacieniowanej figury musimy dodać długości łuków obu wycinków oraz dwa odcinki o dugości 10 m.

L1 - łuk wyznaczony przez większy wycinek

L2 - łuk wyznaczony przez mniejszy wycinek

Obliczmy długości łuków:

`L_1=(strike45^1^strike"o")/(strike360^8^strike"o")*2pi*10=1/strike8^4*strike2^1pi*10=strike10^5/strike4^2pi=5/2pi\ [m]` 

`L_2=(strike30^1^strike"o")/(strike360^12^strike"o")*2pi*10=1/strike12^6*strike2^1pi*10=strike10^5/strike6^3pi=5/3pi\ [m]` 

Obwód zacieniowanej figury to:

`O=L_1+L_2+2*10=5/2pi+5/3pi+20=15/6pi+10/6pi+20=25/6pi+20\ [m]` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )) ` 

b) Zacieniowana figura składa się z dwóch wycinków koła. Większy wycinek ma promień długości 9 m (6+3=9).

Mniejszy wycinek ma promień długości 6 m. Obliczmy pola tych wycinków.

P1 - pole większego wycinka koła

P2 - pole mniejszego wycinka koła 

`P_1=(strike40^1^strike"o")/(strike360^9^strike"o")*pi*9^2=1/strike9^1*pi*strike81^9=9pi\ [m^2]`  

`P_2=(strike50^5^strike"o")/(strike360^36^strike"o")*pi*6^2=5/strike36^1*pi*strike36^1=5pi\ [m^2]` 

Pole zacieniowanej figury to:

`P=P_1+P_2=9pi+5pi=14pi\ [m^2] `

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

Aby obliczyć obwód zacieniowanej figury musimy dodać długości łuków obu wycinków oraz odcinek o długości 6m, odcinek o długości 3 m i odcienk o długości 9 m.

L1 - łuk wyznaczony przez większy wycinek

L2 - łuk wyznaczony przez mniejszy wycinek

Obliczmy długości łuków:

`L_1=(strike40^1^strike"o")/(strike360^9^strike"o")*2pi*9=1/strike9^1*2pi*strike9^1=2pi\ [m]` 

`L_2=(strike50^5^strike"o")/(strike360^36^strike"o")*2pi*6=5/strike36^6*2pi*strike6^1=5/strike6^3*strike2^1pi=5/3pi\ [m]` 

Obwód zacieniowanej figury to:

`O=L_1+L_2+6+3+9=2pi+5/3pi+18=11/3pi+18\ [m]`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )) ` 

c) Aby obliczyć pole zacieniowanej figury, musimy od wycinka wyznaczonego przez kąt środkowy o mierze 120º odjąć wycinek koła wyznaczony przez kąt środkowy o mierze 60º. Większy wycinek ma promień długości 6 m (2+4=6), a mniejszy wycinek ma promień długości 4 m. Obliczmy pola tych wycinków.

P1 - pole większego wycinka koła

P2 - pole mniejszego wycinka koła 

`P_1=(strike120^1^strike"o")/(strike360^3^strike"o")*pi*6^2=1/strike3^1*pi*strike36^12=12pi\ [m^2]`  

`P_2=(strike60^1^strike"o")/(strike360^6^strike"o")*pi*4^2=1/strike6^3*pi*strike16^8=8/3pi\ [m^2]` 

Pole zacieniowanej figury to:

`P=P_1-P_2=12pi-8/3pi=36/3pi-8/3pi=28/3pi\ [m^2] ` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

Aby obliczyć obwód zacieniowanej figury musimy dodać długości łuków obu wycinków oraz odcinek o długości 2 m, odcinek o długości 4 m i odcienk o długości 6 m.

L1 - łuk wyznaczony przez większy wycinek

L2 - łuk wyznaczony przez mniejszy wycinek

Obliczmy długości łuków:

`L_1=(strike120^1^strike"o")/(strike360^3^strike"o")*2pi*6=1/strike3^1*2pi*strike6^2=4pi\ [m]` 

`L_2=(strike60^1^strike"o")/(strike360^6^strike"o")*2pi*4=1/strike6^3*strike2^1pi*4=4/3pi\ [m]` 

Obwód zacieniowanej figury to:

`O=L_1+L_2+4+6=4pi+4/3pi+12=12/3pi+4/3pi+12=16/3p+12\ [m]` 

 

DYSKUSJA
user profile image
Maja

07-12-2017
Dzięki za pomoc :)
user profile image
Patyk/Przewor

19-02-2017
Znalazłem błąd w tym zadaniu. W podpunkcie a jest 2 razy napisane P1
user profile image
Justyna

7409

20-02-2017
@Patyk/Przewor Cześć,dzięki za zgłoszenie:) zadanie zostało zaktualizowane:)
Informacje
Matematyka z plusem 2
Autorzy: Jacek Lech, Marek Pisarski, Marcin Braun
Wydawnictwo: GWO
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły

Licznikiem ułamka zwykłego jest liczba naturalna jaką utworzyłyby cyfry ułamka dziesiętnego, gdyby nie było przecinka, mianownikiem jest liczba zbudowana z cyfry 1 i tylu zer, ile cyfr po przecinku zawiera ułamek dziesiętny.

Przykłady:

  • $$0,25 = {25}/{100}$$ ← licznikiem ułamka zwykłego jest liczba 25 (ponieważ taką liczbę tworzą cyfry ułamka dziesiętnego bez przecinka), mianownikiem ułamka zwykłego jest liczba zbudowana z 1 oraz z dwóch zer, czyli liczba 100, ponieważ dwie cyfry stoją po przecinku,

  • $$4,305={4305}/{1000}$$ ← licznikiem ułamka zwykłego jest liczba 4305 (ponieważ taką liczbę tworzą cyfry ułamka dziesiętnego bez przecinka), mianownikiem ułamka zwykłego jest liczba zbudowana z 1 oraz z trzech zer, czyli liczba 1000, ponieważ trzy cyfry stoją po przecinku.

Odejmowanie ułamków zwykłych
  1. Odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach – odejmujemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:

    • $$5/6-2/6= 3/6= {3÷3}/{6÷3}=1/2$$

      Uwaga

    Gdy w wyniku odejmowania ułamków otrzymamy ułamek niewłaściwy, warto wyłączyć z niego całości.
    Często ułamek otrzymany w wyniku można skrócić, czyli podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę.

  2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika (czyli tak je rozszerzamy lub skracamy, aby otrzymać w mianowniku taką samą liczbę), następnie wykonujemy odejmowanie.

    Przykład:

    • $$3/{10}- 1/5=3/{10}- {1•2}/{5•2}=3/{10}- 2/{10}=1/{10}$$
       
  3. Odejmowanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają takie same mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/3= {2•3+1}/3-{1•3+1}/3=7/3-4/3=3/3=1$$
    • II sposób – oddzielnie odejmujemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które mają identyczne mianowniki.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/3= 2 + 1/3- 1 - 1/3= 2 – 1 + 1/3- 1/3= 1 + 0 = 1$$
       
  4. Odejmowanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają różne mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianowniku, a potem wykonujemy odejmowanie.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/2= {2•3+1}/3-{1•2+1}/2=7/3-3/2={7•2}/{3•2}-{3•3}/{2•3}={14}/6-9/6=5/6$$
    • II sposób – oddzielnie odejmujemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

      Przykład:

      $$2 1/2- 1 1/3= 2 + 1/2- 1 - 1/3= 2 - 1 + 1/2-1/3= 1 +{1•3}/{2•3}-{1•2}/{3•2}= 1 + 3/6- 2/6= 1 + 1/6= 1 1/6$$
 
Zobacz także
Udostępnij zadanie