Matematyka

Autorzy:Jacek Lech, Marek Pisarski, Marcin Braun

Wydawnictwo:GWO

Rok wydania:2016

Oblicz pole i obwód zacieniowanej ... 4.67 gwiazdek na podstawie 9 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Oblicz pole i obwód zacieniowanej ...

16
 Zadanie

17
 Zadanie

18
 Zadanie
19
 Zadanie
20
 Zadanie

W zadaniu bedziemy korzystać ze wzorów:

- pole wycinka koła:

`P_w=alpha/360^"o"*pir^2`

gdzie α - kąt, który wyznacza wycinek koła

- długość łuku:

`l_l=alpha/360^"o"*2pir` 

gdzie r - promień okręgu, α - kąt środkowy oparty na danym łuku

 

a) Zacieniowana figura składa się z dwóch wycinków koła o promieniu 10 m. Obliczmy pola tych wycinków.

P1 - pole większego wycinka koła

P2 - pole mniejszego wycinka koła 

`P_1=(strike45^1^strike"o")/(strike360^8^strike"o")*pi*10^2=1/strike8^2*pi*strike100^25=25/2pi\ [m^2]` 

`P_2=(strike30^1^strike"o")/(strike360^12^strike"o")*pi*10^2=1/strike12^3*pi*strike100^25=25/3pi\ [m^2]` 

Pole zacieniowanej figury to:

`P=P_1+P_2=25/2pi+25/3pi=75/6pi+50/6pi=125/6pi\ [m^2] `

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

Aby obliczyć obwód zacieniowanej figury musimy dodać długości łuków obu wycinków oraz dwa odcinki o dugości 10 m.

L1 - łuk wyznaczony przez większy wycinek

L2 - łuk wyznaczony przez mniejszy wycinek

Obliczmy długości łuków:

`L_1=(strike45^1^strike"o")/(strike360^8^strike"o")*2pi*10=1/strike8^4*strike2^1pi*10=strike10^5/strike4^2pi=5/2pi\ [m]` 

`L_2=(strike30^1^strike"o")/(strike360^12^strike"o")*2pi*10=1/strike12^6*strike2^1pi*10=strike10^5/strike6^3pi=5/3pi\ [m]` 

Obwód zacieniowanej figury to:

`O=L_1+L_2+2*10=5/2pi+5/3pi+20=15/6pi+10/6pi+20=25/6pi+20\ [m]` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )) ` 

b) Zacieniowana figura składa się z dwóch wycinków koła. Większy wycinek ma promień długości 9 m (6+3=9).

Mniejszy wycinek ma promień długości 6 m. Obliczmy pola tych wycinków.

P1 - pole większego wycinka koła

P2 - pole mniejszego wycinka koła 

`P_1=(strike40^1^strike"o")/(strike360^9^strike"o")*pi*9^2=1/strike9^1*pi*strike81^9=9pi\ [m^2]`  

`P_2=(strike50^5^strike"o")/(strike360^36^strike"o")*pi*6^2=5/strike36^1*pi*strike36^1=5pi\ [m^2]` 

Pole zacieniowanej figury to:

`P=P_1+P_2=9pi+5pi=14pi\ [m^2] `

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

Aby obliczyć obwód zacieniowanej figury musimy dodać długości łuków obu wycinków oraz odcinek o długości 6m, odcinek o długości 3 m i odcienk o długości 9 m.

L1 - łuk wyznaczony przez większy wycinek

L2 - łuk wyznaczony przez mniejszy wycinek

Obliczmy długości łuków:

`L_1=(strike40^1^strike"o")/(strike360^9^strike"o")*2pi*9=1/strike9^1*2pi*strike9^1=2pi\ [m]` 

`L_2=(strike50^5^strike"o")/(strike360^36^strike"o")*2pi*6=5/strike36^6*2pi*strike6^1=5/strike6^3*strike2^1pi=5/3pi\ [m]` 

Obwód zacieniowanej figury to:

`O=L_1+L_2+6+3+9=2pi+5/3pi+18=11/3pi+18\ [m]`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )) ` 

c) Aby obliczyć pole zacieniowanej figury, musimy od wycinka wyznaczonego przez kąt środkowy o mierze 120º odjąć wycinek koła wyznaczony przez kąt środkowy o mierze 60º. Większy wycinek ma promień długości 6 m (2+4=6), a mniejszy wycinek ma promień długości 4 m. Obliczmy pola tych wycinków.

P1 - pole większego wycinka koła

P2 - pole mniejszego wycinka koła 

`P_1=(strike120^1^strike"o")/(strike360^3^strike"o")*pi*6^2=1/strike3^1*pi*strike36^12=12pi\ [m^2]`  

`P_2=(strike60^1^strike"o")/(strike360^6^strike"o")*pi*4^2=1/strike6^3*pi*strike16^8=8/3pi\ [m^2]` 

Pole zacieniowanej figury to:

`P=P_1-P_2=12pi-8/3pi=36/3pi-8/3pi=28/3pi\ [m^2] ` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

Aby obliczyć obwód zacieniowanej figury musimy dodać długości łuków obu wycinków oraz odcinek o długości 2 m, odcinek o długości 4 m i odcienk o długości 6 m.

L1 - łuk wyznaczony przez większy wycinek

L2 - łuk wyznaczony przez mniejszy wycinek

Obliczmy długości łuków:

`L_1=(strike120^1^strike"o")/(strike360^3^strike"o")*2pi*6=1/strike3^1*2pi*strike6^2=4pi\ [m]` 

`L_2=(strike60^1^strike"o")/(strike360^6^strike"o")*2pi*4=1/strike6^3*strike2^1pi*4=4/3pi\ [m]` 

Obwód zacieniowanej figury to:

`O=L_1+L_2+4+6=4pi+4/3pi+12=12/3pi+4/3pi+12=16/3p+12\ [m]` 

 

user profile image
Patyk/Przewor 2017-02-19
Znalazłem błąd w tym zadaniu. W podpunkcie a jest 2 razy napisane P1
user profile image
Odrabiamy.pl 2017-02-20
@Patyk/Przewor Cześć,dzięki za zgłoszenie:) zadanie zostało zaktualizowane:)