Rysunek pomocniczy:

Patrząc na rysunek możemy zauważy, że długość średnicy koła na kolejnych rysunkach jest równa ¹/_n, gdzie n oznacza ilość kół w jednym wierszu.

Ilość kół w jednym wierszu jest zgodan z numerem rysunku.

Ilość wszystkich kół na rysunku jest równa kwadratowi liczby kół z jednego wiersza.

Np. Na rysunku 5 koła będą miały średnicę ¹/₅ m. W jednym wierszu będzie 5 kół. W całym kwadracie będzie 25 kół (5²=25).

 

Obliczmy pole koła z pierwszego rysunku:

$d=1m$  

Promień koła jet dwa razy mniejszy od średnicy, więc:

$r=\frac{1}{2}\cdot d=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}\left[m\right]$  

Pole koła I:

${\text{P}}_{\text{I}}=\pi \cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}\pi \left[m^2\right]$  

$\underline{}$    

Obliczmy pole jednego koła z drugiego rysunku:

$d=\frac{1}{2}m$   

Promień koła jet dwa razy mniejszy od średnicy, więc:

$r=\frac{1}{2}\cdot d=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\left[m\right]$  

Pole koła II:

${\text{P}}_{\text{II}}=\pi \cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{16}\pi \left[m^2\right]$   

Suma wszystkich czterech kół wynosi:

$4\cdot {\text{P}}_{\text{II}}={\sout{4}}^1\cdot \frac{1}{{\sout{16}}^4}=\frac{1}{4}\pi \left[m^2\right]$  

$\underline{}$    

Obliczmy pole jednego koła z trzeciego rysunku:

$d=\frac{1}{3}m$   

Promień koła jet dwa razy mniejszy od średnicy, więc:

$r=\frac{1}{2}\cdot d=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}\left[m\right]$  

Pole koła III:

${\text{P}}_{\text{III}}=\pi \cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^2=\frac{1}{36}\pi \left[m^2\right]$   

Suma wszystkich czterech kół wynosi:

$4\cdot {\text{P}}_{\text{III}}={\sout{9}}^1\cdot \frac{1}{{\sout{36}}^4}=\frac{1}{4}\pi \left[m^2\right]$   

$\underline{}$    

Analizując trzy powyższe przykłady możemy zauważyć, że suma pól kół na każdym rysunku wynosi ¹/₄𝜋 m².

Otrzymane dane zapiszmy w postaci tabelki.

Nr rys.	Ilość kół w jednym wierszu	Ilość wszystkich kół	Średnica jednego koła [m]	Promień jednego koła [m]	Pole jednego koła [m2]	Pole wszystkich kół [m2]
1	1	12=1	1	1/2	1/4𝜋	1∙1/4𝜋 = 1/4𝜋
2	2	22=4	1/2	1/4	1/16𝜋	4∙1/16𝜋 = 1/4𝜋
3	3	32=9	1/3	1/6	1/36𝜋	9∙1/36𝜋 = 1/4𝜋
4	4	42=16	1/4	1/8	1/64𝜋	16∙1/64𝜋 = 1/4𝜋
...	...	...	...	...	...	...
n	n	n2	1/n	1/2n	( 1/2n )2 𝜋	n2∙( 1/2n )2 𝜋=1/4𝜋

Sprawdźmy, czy dla dowolnego n (gdzie n - liczba kół w wierszu), suma pól wszystkich kół, których ilość wynosi n^2, jest równa ¹/₄𝜋 m.

Średnica koła, które znajduje się na n-tym rysunku, wynosi ¹/_n m. Długość promienia koła jest dwa razy krótsza od długości średnicy, więc promień ma:

$r=\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{2n}\left[m\right]$   

Obliczmy pole jednego koła:

$P={\left(\frac{1}{2n}\right)}^2\pi =\frac{1}{{\left(2n\right)}^2}\pi =\frac{1}{4n^2}\pi \left[m^2\right]$   

Obliczmy sume wszystkich pól (wiemy, że jest n² kół):

$n^2\cdot P=\sout{n^2}\cdot \frac{1}{4\sout{n^2}}\pi =\frac{1}{4}\pi \left[m^2\right]$