a) Trzy kolejne liczby parzyste to:

$2n,2n+2,2n+4,\text{dla}n\in C$   

Średnia arytmetyczna tych liczb jest równa 40, czyli:

$\frac{2n+2n+2+2n+4}{3}=40$  

$\frac{6n+6}{3}=40\mid \cdot 3$  

$6n+6=120\mid -6$  

$6n=114\mid :6$  

$n=19$  

Podstawiamy n=19 do określonych na początku zadania liczb:

$2n=2\cdot 19=38$  

$2n+2=2\cdot 19+2=38+2=40$   

$2n+4=2\cdot 19+4=38+4=42$  

Szukane liczby to 38, 40 i 42.

$\underline{\underline{}}$  

b) Trzy kolejne liczby nieparzyste to:

$2n+1,2n+3,2n+5,\text{dla}n\in C$    

Średnia arytmetyczna tych liczb jest równa 91, czyli:

$\frac{2n+1+2n+3+2n+5}{3}=91$    

$\frac{6n+9}{3}=91\mid \cdot 3$  

$6n+9=273\mid -9$   

$6n=264\mid :6$  

$n=44$  

Podstawiamy n=44 do określonych na początku zadania liczb:

$2n+1=2\cdot 44+1=88+1=89$   

$2n+3=2\cdot 44+3=88+3=91$   

$2n+5=2\cdot 44+5=88+5=93$    

Szukane liczby to 89, 91 i 93.

$\underline{\underline{}}$  

c) Trzy kolejne liczby pierwsze oznaczmy jako:

$x,y,z$     

Średnia arytmetyczna tych liczb jest równa 10 ¹/₃, czyli:

$\frac{x+y+z}{3}=10\frac{1}{3}$  

$\frac{x+y+z}{3}=\frac{31}{3}\mid \cdot 3$  

$x+y+z=31$  

Szukamy takich trzech kolejnych liczb pierwszych, aby ich suma była równa 31.

Liczby pierwsze spełniające ten warunek to:

$x=7,y=11,z=13$  

Szukane liczby to 7,11 i 13.

 

$\underline{\underline{}}$  

d) Trzy kolejne liczby parzyste to:

$2n,2n+2,2n+4,\text{dla}n\in C$    

Kwadraty tych liczb to:

${\left(2n\right)}^2=4n^2$  

${\left(2n+2\right)}^2=\left(2n+2\right)\left(2n+2\right)=4n^2+4n+4n+4=4n^2+8n+4$  

${\left(2n+4\right)}^2=\left(2n+4\right)\left(2n+4\right)=4n^2+8n+8n+16=4n^2+16n+16$     

Średnia arytmetyczna tych liczb jest równa 38 ²/₃, czyli:

$\frac{4n^2+4n^2+8n+4+4n^2+16n+16}{3}=38\frac{2}{3}$    

$\frac{12n^2+24n+20}{3}=\frac{116}{3}\mid \cdot 3$  

$12n^2+24n+20=116\mid :4$  

$3n^2+6n+5=29\left(\star \right)$     

Szukamy takiej liczby całkowitej n, która spełnia warunek z  $\left(\star \right)$  .

Taką liczbą jest:

$n=2$  

Podstawiamy n=2 do określonych na początku zadania liczb:

$2n=2\cdot 2=4$   

$2n+2=2\cdot 2+2=4+2=6$    

$2n+4=2\cdot 2+4=4+4=8$    

Szukane liczby to 4,6 i 8.

$\underline{\underline{}}$  

e) Zapiszmy symbolicznie cztery kolejne liczby, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 1:

$5n+1,5n+6,5n+11,5n+16\text{dla}n\in C$    

Średnia arytmetyczna tych liczb jest równa 53,5, czyli:

$\frac{5n+1+5n+6+5n+11+5n+16}{4}=53,5$    

$\frac{20n+34}{4}=53,5\mid \cdot 4$  

$20n+34=214\mid -34$    

$20n=180\mid :20$   

$n=9$   

Podstawiamy n=9 do określonych na początku zadania liczb:

$5n+1=5\cdot 9+1=45+1=46$    

$5n+6=5\cdot 9+6=45+6=51$    

$5n+11=5\cdot 9+11=45+11=56$     

$5n+16=5\cdot 9+16=45+16=61$      

Szukane liczby to 46, 51, 56 i 61.