W każdym przykładzie musimy rozpatrzeć trzy przypadki - ze względu na znak wyrażenia znajdującego się pod wartością bezwzględną. 

 

 

$a)$  

Wyrażenia znajdujące się pod wartościami bezwzględnymi zerują się dla 0 i 3.

$1)x\in \left(-\infty ;0\right)$  

$\left|x\right|+\left|x-3\right|=5$  

$-x-\left(x-3\right)=5$  

$-x-x+3=5$  

$-2x+3=5\mid -3$  

$-2x=2\mid :\left(-2\right)$  

$x=-1\in \left(-\infty ;0\right)$  

 

 

$2)x\in ⟨0;3)$  

$\left|x\right|+\left|x-3\right|=5$  

$x-\left(x-3\right)=5$  

$x-x+3=5$  

$3=5$  

Powyższa równość nie jest prawdziwa, więc w zadanym przedziale równanie nie ma rozwiązania. 

 

 

$3)x\in ⟨3;+\infty )$  

$\left|x\right|+\left|x-3\right|=5$   

$x+x-3=5$  

$2x-3=5\mid +3$  

$2x=8\mid :2$  

$x=4$  

 

Równanie ma dwa rozwiązania:

$\underline{\underline{x\in \left\{-1;4\right\}}}$  

 

$\underline{}$  

 

 

$b)$  

Wyrażenia znajdujące się pod wartościami bezwzględnymi zerują się dla 1 i -1.

 

$1)x\in \left(-\infty ;-1\right)$  

$\left|x-1\right|+\left|x+1\right|=6$  

$-\left(x-1\right)-\left(x+1\right)=6$  

$-x+1-x-1=6$  

$-2x=6\mid :\left(-2\right)$  

$x=-3\in \left(-\infty ;-1\right)$  

 

 

$2)x\in ⟨-1;1)$  

$\left|x-1\right|+\left|x+1\right|=6$  

$-\left(x-1\right)+\left(x+1\right)=6$  

$-x+1+x+1=6$  

$2=6$  

Powyższa równość nie jest prawdziwa, więc w zadanym przedziale równanie nie ma rozwiązania. 

 

$3)x\in ⟨1;+\infty )$  

$\left|x-1\right|+\left|x+1\right|=6$  

$x-1+x+1=6$  

$2x=6\mid :2$  

$x=3\in ⟨1;+\infty )$  

 

Równanie ma dwa rozwiązania:

$\underline{\underline{x\in \left\{-3;3\right\}}}$   

 

 

$\underline{}$  

 

 

$c)$  

Wyrażenia znajdujące się pod wartościami bezwzględnymi zerują się dla -4 i 2.

 

$1)x\in \left(-\infty ;-4\right)$  

$\left|x+4\right|-\left|2-x\right|=6$  

$-\left(x+4\right)-\left(2-x\right)=6$  

$-x-4-2+x=6$  

$-6=6$  

Powyższa równość nie jest prawdziwa, więc w zadanym przedziale równanie nie ma rozwiązania. 

 

$2)x\in ⟨-4;2)$  

$\left|x+4\right|-\left|2-x\right|=6$  

$x+4-\left(2-x\right)=6$  

$x+4-2+x=6$  

$2x+2=6\mid -2$  

$2x=4\mid :2$  

$x=2\notin ⟨-4;2)$  

 

 

$3)x\in ⟨2;+\infty )$  

$\left|x+4\right|-\left|2-x\right|=6$   

$x+4+\left(2-x\right)=6$  

$x+4+2-x=6$  

$6=6$  

Powyższa równość jest zawsze prawdziwa więc rozwiązaniem równania jest cały zadany przedział.

 

Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań:

$\underline{\underline{x\in ⟨2;+\infty )}}$    

 

 

$\underline{}$  

 

 

$d)$  

Wyrażenia znajdujące się pod wartościami bezwzględnymi zerują się dla 0 i 2. 

 

$1)x\in \left(-\infty ;0\right)$  

$\left|x\right|+\left|x-2\right|=2x-2$  

$-x-\left(x-2\right)=2x-2$  

$-x-x+2=2x-2$  

$-2x+2=2x-2\mid -2x$  

$-4x+2=-2\mid -2$  

$-4x=-4\mid :\left(-4\right)$  

$x=1\notin \left(-\infty ;0\right)$  

 

$2)x\in ⟨0;2)$  

$\left|x\right|+\left|x-2\right|=2x-2$   

$x-\left(x-2\right)=2x-2$  

$x-x+2=2x-2$  

$2=2x-2\mid +2$  

$4=2x\mid :2$  

$x=2\notin ⟨0;2)$  

 

$3)x\in ⟨2;+\infty )$  

$\left|x\right|+\left|x-2\right|=2x-2$   

$x+x-2=2x-2\mid -2x$  

$-2=-2$  

Powyższa równość jest zawsze prawdziwa więc rozwiązaniem równania jest cały zadany przedział.

 

 

Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań:

$\underline{\underline{x\in ⟨2;+\infty )}}$  

 

 

$\underline{}$  

 

 

$e)$  

Wyrażenia znajdujące się pod wartościami bezwzględnymi zerują się dla 3 oraz -3. 

$1)x\in \left(-\infty ;-3\right)$  

$\left|3-x\right|=\left|x+3\right|-x$  

$3-x=-\left(x+3\right)-x$  

$3-x=-x-3-x$  

$3-x=-2x-3\mid +2x$  

$3+x=-3\mid -3$  

$x=-6\in \left(-\infty ;-3\right)$  

 

$2)x\in ⟨-3;3)$  

$\left|3-x\right|=\left|x+3\right|-x$  

$3-x=x+3-x$  

$3-x=3\mid -3$  

$-x=0\mid \cdot \left(-1\right)$  

$x=0\in ⟨-3;3)$  

 

$3)x\in ⟨3;+\infty )$  

$\left|3-x\right|=\left|x+3\right|-x$  

$-\left(3-x\right)=x+3-x$  

$-3+x=3\mid +3$  

$x=6\in ⟨3;+\infty )$  

 

Równanie ma trzy rozwiązania:

$\underline{\underline{x\in \left\{-6;0;6\right\}}}$  

 

 

$\underline{}$  

 

 

$f)$    

Wyrażenia znajdujące się pod wartościami bezwzględnymi zerują się dla 0 i -5. 

 

$1)x\in \left(-\infty ;-5\right)$  

$\left|x\right|+\left|x+5\right|=2x+5$  

$-x-\left(x+5\right)=2x+5$  

$-x-x-5=2x+5$  

$-2x-5=2x+5\mid -2x$  

$-4x-5=5\mid +5$  

$-4x=10\mid :\left(-4\right)$  

$x=-\frac{10}{4}=-\frac{5}{2}=-2\frac{1}{2}\notin \left(-\infty ;-5\right)$  

 

$2)x\in ⟨-5;0)$  

$\left|x\right|+\left|x+5\right|=2x+5$  

$-x+x+5=2x+5$  

$5=2x+5\mid -5$   

$0=2x\mid :2$  

$x=0\notin ⟨-5;0)$  

 

$3)x\in ⟨0;+\infty )$  

$\left|x\right|+\left|x+5\right|=2x+5$  

$x+x+5=2x+5$  

$2x+5=2x+5\mid -2x$  

$5=5$  

 

Powyższa równość jest zawsze prawdziwa więc rozwiązaniem równania jest cały zadany przedział.

 

Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań:

$\underline{\underline{x\in ⟨0;+\infty )}}$