Matematyka

Przeczytaj podane w ramce definicje 4.43 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

`a)` 

`"założenia:"\ \ \ a,\ b>0,\ \ \ (a+b)/2=sqrt(ab)=2/(1/a+1/b)` 

`"teza:"\ \ \ a=b` 

`"dowód:"` 

Zauważmy, że średnią harmoniczną liczb a i b można zapisać w sposób równoważny:

`2/(1/a+1/b)=2/(b/(ab)+a/(ab))=2/((b+a)/(ab))=2:(b+a)/(ab)=2*(ab)/(b+a)=(2ab)/(b+a)=(2ab)/(a+b)` 

 

Z założenia wiadomo, że zachodzi równość średnich:

`(a+b)/2=sqrt(ab)=(2ab)/(a+b)` 

Zajmijmy się najpierw pierwszą równością:

`(a+b)/2=sqrt(ab)\ \ \ \ |*2` 

`a+b=2sqrt(ab)\ \ \ \ |-2sqrt(ab)` 

`a-2sqrt(ab)+b=0` 

`sqrta^2-2*sqrta*sqrtb+sqrtb^2=0` 

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat róznicy możemy zapisać:

`(sqrta-sqrtb)^2=0` 

Kwadrat liczby jest równy zero, tylko wtedy, gdy ta liczba jest równa zero:

`sqrta-sqrtb=0\ \ \ |+sqrtb` 

`sqrta=sqrtb` 

Liczby a i b są dodatnie (z założenia); dwa pierwiastki kwadratowe są sobie równe, jeśli liczby pod pierwiastkiem są sobie równe:

`a=b` 

 

 

Teraz zajmiemy się drugą równością.

`sqrt(ab)=(2ab)/(a+b)\ \ \ \ |*(a+b)` 

`(a+b)sqrt(ab)=2ab` 

Rozpisując, dążymy do uzyskania wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. 

`asqrt(ab)+bsqrt(ab)=2ab` 

`sqrt(asqrt(ab))^2+sqrt(bsqrt(ab))^2=2*sqrt(ab*ab)`  

`sqrt(asqrt(ab))^2+sqrt(bsqrt(ab))^2=2*sqrt(a*b*ab)`   

`sqrt(asqrt(ab))^2+sqrt(bsqrt(ab))^2=2*sqrt(a*b*sqrt(ab)*sqrt(ab))`  

`sqrt(asqrt(ab))^2+sqrt(bsqrt(ab))^2=2*sqrt(asqrt(ab)*bsqrt(ab))` 

`sqrt(asqrt(ab))^2-2*sqrt(ab)*sqrt(ab)+sqrt(bsqrt(ab))^2=0` 

`(sqrt(asqrt(ab))-sqrt(bsqrt(ab)))^2=0` 

`sqrt(asqrt(ab))-sqrt(bsqrt(ab))=0` 

`sqrt(asqrt(ab))=sqrt(bsqrt(ab))` 

Podobnie jak poprzednio, możemy podnieść równość obustronnie do kwadratu, ponieważ przyjmuje ona wartości dodatnie. 

`asqrt(ab)=bsqrt(ab)\ \ \ \ |-bsqrt(ab)` 

`asqrt(ab)-bsqrt(ab)=0` 

`sqrt(ab)(a-b)=0` 

Pierwiastek z iloczynu liczb a i b jest dodatni (bo liczby a i b są dodatnie), więc nie przyjmuje wartości zero. Stą:

`a-b=0\ \ \ |+b` 

`a=b` 

 

Obie rozważane równości dały równość z tezy, co kończy dowód. 

 

 

`b)` 

 `"założenia:"\ \ \ a,\ b>0,\ \ \ aneb`   

`"teza:"\ \ \ 2/(1/a+1/b)<sqrt(ab)<(a+b)/2` 

`"dowód:"` 

Najpierw pokażemy, że zachodzi pierwsza z nierówności, czyli:

`2/(1/a+1/b)<sqrt(ab)` 

Musimy więc pokazać, że zachodzi nierówność:

`2/(1/a+1/b)-sqrt(ab)<0` 

 

Zbadajmy więc znak wyrażenia (wykorzystamy inną postać średniej harmonicznej, którą wyprowadziliśmy w podpunkcie a). 

`2/(1/a+1/b)-sqrt(ab)=(2ab)/(a+b)-sqrt(ab)=(2ab)/(a+b)-((a+b)sqrt(ab))/(a+b)=(2ab-(a+b)sqrt(ab))/(a+b)=(-asqrt(ab)+2ab-bsqrt(ab))/(a+b)=-(asqrt(ab)-2ab+bsqrt(ab))/(a+b)=` 

Skorzystamy z równości, którą wykorzystywaliśmy w podpunkcie a (przy rozpisywaniu drugiej równości).

`=-((sqrt(asqrt(ab))-sqrt(bsqrt(ab)))^2)/(a+b)<0` 

Licznik powyższego ułamka jest kwadratem pewnego wyrażenia, więc przyjmuje wyłącznie wartości ujemne (nie przyjmuje wartości 0, bo liczby a i b były różne). Mianownik to suma dwóch liczb dodatnich (a i b), więc przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie. Stąd ułamek przyjmuje wartości dodatnie, ale stoi przed nim minus, więc całe wyrażenie przyjmuje wyłącznie wartości ujemne (mniejsze lub równe 0). W ten sposób udowodniliśmy, że dla dwóch różnych liczb dodatnich średnia harmoniczna jest mniejsza od średniej geometrycznej. 

 

Teraz udowodnimy, że zachodzi druga z nierówności, czyli:

`sqrt(ab)<(a+b)/2` 

 

Musimy więc pokazać, że zachodzi nierówność:

`sqrt(ab)-(a+b)/2<0` 

 

 

Zbadajmy więc znak wyrażenia:

`sqrt(ab)-(a+b)/2=(2sqrt(ab))/2-(a+b)/2=(2sqrt(ab)-(a+b))/2=(2sqrtab-a-b)/2=-(-2sqrt(ab)+a+b)/2=-(a-2sqrt(ab)+b)/2=` 

`=-1/2(a-2sqrt(ab)+b)=-1/2(sqrta^2-2*sqrta*sqrtb+sqrtb^2)=-1/2(sqrta-sqrtb)^2<0` 

Liczby a oraz b są różne, więc różnica ich pierwiastków jest różna od zera. Jeśli podniesiemy liczbę niezerową do kwadratu (niezależnie od tego, czy ta liczba jest dodatnia czy ujemna), to otrzymamy liczbę dodatnią. Jeśli pomnożymy ją przez minus jedną drugą, to otrzymamy liczbę ujemną. W ten sposób udowodniliśmy, że dla dwóch różnych liczb dodatnich średnia geometryczna jest mniejsza od średniej arytmetycznej. 

 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Dzielniki

Dzielnik liczby to taka liczba, przez którą dana liczba jest podzielna. Dzielnikiem każdej liczby naturalnej n (n>1) jest 1 oraz ona sama.

Inaczej mówiąc, dzielnikiem liczby naturalnej n nazywamy liczbę naturalną m, jeżeli liczba n podzieli się przez m, tzn. gdy istnieje taka liczba naturalna k, że $$n=k•m$$.

Przykład:

10 dzieli się przez 1, 2, 5 i 10, z tego wynika, że dzielnikami liczby 10 są liczby 1, 2, 5 i 10.

Możemy też powiedzieć, że:

  • 1 jest dzielnikiem 10 bo 10=10•1
  • 2 jest dzielnikiem 10 bo 10=5•2
  • 5 jest dzielnikiem 10 bo 10=2•5
  • 10 jest dzielnikiem 10 bo 10=1•10


Jeżeli liczba naturalna m jest dzielnikiem liczby n, to liczba n jest wielokrotnością liczby m.

Przykład:
Liczba 2 jest dzielnikiem liczby 10, czyli liczba 10 jest wielokrotnością liczby 2.
Symboliczny zapis $$m∣n$$ oznacza, że m jest dzielnikiem liczby n (lub n jest wielokrotnością liczby m). Powyższy przykład możemy zapisać jako $$2|10$$ (czytaj: 2 jest dzielnikiem 10).


Dowolna liczba naturalna n, większa od 1 (n>1), która ma tylko dwa dzielniki: 1 oraz samą siebie (czyli liczbę n) nazywamy liczbą pierwszą. Liczbami pierwszymi są liczby: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...

  Zapamiętaj

Liczba 1 nie jest liczbą pierwszą – bo ma tylko jeden dzielnik. Liczba 0 też nie jest liczbą pierwszą – bo ma nieskończenie wiele dzielników.

  Zapamiętaj

Liczbę niebędącą liczbą pierwszą, czyli posiadająca więcej niż dwa dzielniki, nazywamy liczbą złożoną. Liczbami złożonymi są: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18...

  Zapamiętaj

Liczby 1 i 0 nie są liczbami złożonymi.

  Ciekawostka

Liczba doskonała to liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej. Dotychczas znaleziono tylko 46 liczb doskonałych. Przykładem liczby doskonałej jest 6.

Kwadraty i sześciany liczb

Iloczyn jednakowych czynników możemy zapisać krócej - w postaci potęgi.

  1. Iloczyn dwóch takich samych liczb (czynników) nazywamy kwadratem tej liczby (czynnika) lub mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiona do potęgi drugiej.
    Przykład:
    $$5•5=5^2 $$, czytamy: „kwadrat liczby pięć” lub „pięć do potęgi drugiej”

  2. Iloczyn trzech takich samych czynników nazywamy sześcianem tej liczby (czynnika) lub mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiona do potęgi trzeciej.
    Przykład:
    $$7•7•7=7^3$$, czytamy: „sześcian liczby siedem” lub „siedem do potęgi trzeciej”

  3. Gdy występuje iloczyn więcej niż trzech takich samych czynników mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiony do potęgi takiej ile jest czynników.
    Przykład:
    $$3•3•3•3•3=3^5 $$, czytamy: „trzy do potęgi piątej”

    $$2•2•2•2•2•2•2=2^7 $$, czytamy: „dwa do potęgi siódmej”
     

potegi-nazewnictwo
Zobacz także
Udostępnij zadanie