a) Rozpatrzmy dwie nierówności:

$1)x^2+y^2-2\left|x\right|\le 0$  

$2)x^2+y^2-2x\le 0$   

 

Zauważmy, że pierwszą nierówność otrzymamy, jeżeli przekształcimy koło, opisane przez drugą nierówność w taki sposób, że wykres po lewej stronie osi y zostanie zastąpiony symetrycznym odbiciem wykresu znajdującego się po prawej stronie osi y. A więc:

$x^2+y^2-2x\le 0$  

$x^2-2x+y^2\le 0$  

$x^2-2x+1+y^2-1\le 0$ $x^2-2x+1+y^2-1\le 0$  

${\left(x-1\right)}^2+y^2\le 1$  

Naszkicujmy koło o środku w punkcie (1,0) i promieniu 1:

 

Lewą stronę wykresu zastępujemy odbijając symetrycznie koło względem osi y (Z uwagi na fakt, że po lewej stronie nie ma żadnego punktu to po prostu dorysowujemy koło tak, aby były symetryczne względem osi y)

 

Dorysujmy teraz prostą y = |x| , rozwiązaniem będą wszystkie punkty leżące powyżej prostej, znajdujące się w kołach.

 

b) Rozpatrzmy pierwszą nierówność:

$1)x^2+y^2-4\left|y\right|\le 0$  

 

Analogicznie jak w podpunkcie a) , rozpatrzymy wpierw nierówność:

$2)x^2+y^2-4y\le 0$  

Jeżeli wszystko poniżej osi x zastąpimy odbiciem symetrycznym części wykresu leżącej powyżej osi x to otrzymamy wykres nierówności 1)

 

$x^2+y^2-4y\le 0$  

$x^2+y^2-4y+4-4\le 0$  

$x^2+{\left(y-2\right)}^2\le 4$  

Narysujmy koło o środku (0, 2) i promieniu 2.

 

Analogicznie jak w podpunkcie a) , poniżej osi x narysujemy odbicie symetryczne wykresu leżącego ponad tą osią.

 

Narysujmy prostą y = 2x. Rozwiązaniem będzie zbiór tych punktów, które leżą ponad prostą  y = 2x i należą do któregoś z kół.

 

c) Rozpatrzmy nierówność:

$1)x^2+y^2-2x-2y-2\le 0$  

$x^2-2x+y^2-2y-2\le 0$   

$x^2-2x+1+y^2-2y+1-4\le 0$  

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2\le 4$  

Ta nierówność opisuje koło o środku w punkcie (1,1) i promieniu 2.

 

Skoro pierwsza nierówność ma x i y w module to znaczy, że nierówność:

$x^2+y^2-2\left|x\right|-2\left|y\right|-2\le 0$  

opisuje cztery koła o środkach w punkcie (1,1) , (1,-1) , (-1, 1) i (-1, -1), których promień wynosi 2.

Zauważmy, że druga nierówność:

$x^2+y^2>4$  

opisuje zbiór punktów nie należących do koła o środku (0,0) i promieniu 2. A więc wytnijmy z powyższego zbioru takie koło by otrzymać rozwiązanie układu nierówności.

 

 

d) Narysujmy wpierw zbiór który jest opisany przez nierówność:

$y\le \left|x-2\right|$  

 

Wszystko poniżej osi x zastąpimy odbiciem symetrycznym części wykresu znajdującej się powyżej osi x. Otrzymamy wtedy nierówność:

$\left|x\right|\le \left|x-2\right|$  

 

Zauważmy, że:

$x^2+y^2\ge 2$  

to zbiór opisujący punkty należące do okręgu o środku w punkcie (0,0) i promieniu  $\sqrt{2}$   bądź leżą na zewnątrz koła o takim samym środku i promieniu.

 

A więc rozwiązaniem jest: