$x^2+y^2+ax+by+c=0$  

$x^2+ax+y^2+by+c=0$  

$x^2+2\cdot x\cdot \frac{a}{2}+y^2+2\cdot y\cdot \frac{b}{2}+c=0$  

$x^2+2\cdot x\cdot \frac{a}{2}+\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{4}+y^2+2\cdot y\cdot \frac{b}{2}+\frac{b^2}{4}-\frac{b^2}{4}+c=0$  

${\left(x+\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{b}{2}\right)}^2+c-\frac{a^2}{4}-\frac{b^2}{4}=0$  

${\left(x+\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{b}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c$  

$r^2=\frac{a^2+b^2}{4}-c$  

$r=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}-c}$  

 

a) Odległość okręgu od prostej y=0:

$d=\frac{\left|Ax+By+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\left(\left|0\cdot \left(-\frac{a}{2}\right)+1\cdot \left(-\frac{b}{2}\right)\right|\right)=\left|-\frac{b}{2}\right|=\left|\frac{b}{2}\right|$  

Odległość jest równa długości promienia okręgu:

$\left|\frac{b}{2}\right|=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}-c}$  

Założenie:

$\frac{a^2+b^2}{4}-c\ge 0$  

$a^2+b^2\ge 4c$  

 

Podnieśmy obustronnie do kwadratu:

  ${\left(\frac{b}{2}\right)}^2=\frac{a^2+b^2}{4}-c$  

$\frac{b^2}{4}=\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c$  

$\frac{a^2}{4}-c=0$  

$a^2-4c=0$  

co kończy dowód.

 

 

$b)a^2-4=0$  

$a^2=4$  

$a=2\vee a=-2$  

Promień:

$r^2=\frac{4+b^2}{4}-1=1+\frac{b^2}{4}-1=\frac{b^2}{4}$  

$r=\frac{\left|b\right|}{2}$  

 

Współrzędne środka:

$S_1=\left(1,-\frac{b}{2}\right),r=\frac{\left|b\right|}{2}$  

lub

$S_2=\left(-1,-\frac{b}{2}\right),r=\frac{\left|b\right|}{2}$