I gimnazjum

Matematyka 2001

a)  2, 7, 13, 31, 47

a) 11:13=1311​ 47:13=1347​=3138​ 23:2=223​=1121​ Zdanie jest fałszywe.. Zauważmy na przykładach, że iloraz liczb pierwszych to zawsze ułamek lub liczba mieszana. b) Sprawdźmy prawdziwość zdania na przykładach. 13−11=2​

a)  48=□⋅2⋅□⋅2⋅□ Zastanówmy się, jaki ma być wynik mnożenia brakujących czynników. 48=2⋅2⋅□⋅□⋅□ 48=4⋅□⋅□⋅□

Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3. Obliczmy zatem sumę widocznych cyfr i sprawdźmy, jaką cyfrę możemy dopisać, aby suma wszystkich cyfr była podzielna przez 3. a)  194□             1+9+4=14 Liczby większe od 14 podzielne przez 3 to 15, 18 i 21, stąd możeby dopisać cyfry: 15−14=1,        1941​ 18−14=4,        1944​ 21−14=7,        1947​ W miejsce kratki możemy wpisać cyfrę 1, 4 lub 7. b)  45□6           4+5+6=15

Dzielniki liczb 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

a) Możemy wymienione liczby znaleźć sprawdzając kolejne liczby podzielne przez 5 (10, 15, 20, 25) pod względem podzielności przez 4 albo na odwrót. Możemy również skorzystać z pewnej własności: liczba jest podzielna przez dany dzielnik, jeśli da się ją przedstawić w postaci iloczynu, którego jednym z czynników jest ten dzielnik. Stąd liczba dwucyfrowa podzielna przez 4 i przez 5 to na pewno: 4⋅5=20 A także każda wielokrotność tego iloczynu, czyli: 40, 60, 80 Są cztery takie liczby. b) Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3. Liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9. Zastanówmy się, jakie sumy cyfr, czyli jakie liczby, są podzielne przez 3 ale nie przez 9? 3=3+0 3=2+1

Ponieważ w poprzednim zadaniu polecenie obejmowało również zbadanie, ile jest liczb spełniających dany warunek, przypuszczamy, że w tym zadaniu nauczyciel również może o to zapytać. W związku z tym rozwiązanie obejmuję znalezienie wszystkich liczb spełniających dany warunek. a) Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3. Liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9. Gdy liczba jest podzielna przez 9, to jest również podzielna przez 3, stąd gdy suma liczb wynosi 9, to liczba jest ,,automatycznie" jest również podzielna przez 3. Szukamy zatem wszystkich liczb dwucyfrowych, których suma liczb wynosi 9 9=9+0        90​ 9=1+8        18​, 81​ 9=2+7        27​, 72​ 9=3+6        36​, 63​

<ul> <li>Liczba jest podzielna przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4 lub są to dwa zera.</li> <li>Jeśli liczba jest podzielna przez 4, to jest również podzielna przez 2.</li> <li>Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3.</li> <li>Suma cyfr tej liczby ma być podzielna przez 2, a jeśli jakaś liczba (w tym przypadku suma cyfr) ma być podzielna przez 3 i przez 2, to jest to jest to równoważne z tym, że ma być podzielna przez 6, stąd wystarczy znaleźć liczby podzielne przez 6 (kolejne wielokrotności liczby 6)</li> </ul> Podsumowując: musimy znaleźć liczbę, której dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4, i której suma cyfr jest podzielna przez 6. Przykładowe liczby trzycyfrowe spełniające podane założenia: 600 204

a) Spróbujmy zauważyć, jakie są wspólne cechy przedstawionych cyfr. Zauważmy, że każda z tych liczb ma ostatnią cyfrę 0 lub 5, stąd każda z nich jest podzielna przez 5. Sprawdźmy, ile wynoszą sumy cyfr tych liczb. 1+5=6 1+8+0=9

Komentarze