Matematyka

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony (Podręcznik, Nowa Era)

Rozwiąż nierówność. 4.86 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

Skorzystamy z własności podanych na stronie 90 w podręczniku. 

 

`a)`

`||x|-3|<2`

`-2<|x|-3<2\ \ \ |+3`

`1<|x|<5`

Szukamy takich liczb x, których odległość od zera na osi liczbowej jest większa od 1 i zarazem mniejsza od 5. 

`ul(ul(x in (-5;\ -1)uu(1;\ 5)))`

 

 

`b)`

`||x|+4|>5`

`|x|+4<-5\ \ \ |-4\ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ |x|+4>5\ \ \ |-4`

`|x|<-9\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ |x|>1`

Pierwsza nierówność nie ma rozwiązań, ponieważ wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Szukamy rozwiązań drugiej nierówności. 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x<-1\ \ \ "lub"\ \ \ x>1`

`ul(ul(x in (-infty;\ -1)uu(1;\ +infty)`

 

 

`c)`

`||x+4|-3|>2`

`|x+4|-3< -2 \ \ \ |+3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |x+4|-3>2\ \ \ |+3`

`|x+4|<1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |x+4|>5`

`-1<x+4<1\ \ \ |-4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+4<-5 \ \ \ |-4\ \ \ "lub"\ \ \ x+4>5\ \ \ |-4`

`-5<x<-3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x<-9\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x>1`

`ul(ul(x in (-infty;\ -9)uu(-5;\ -3)uu(1;\ +infty)))`

 

 

`d)`

`||2x-1|+2|>=3`

`|2x-1|+2<=-3\ \ \ |-2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |2x-1|+2>=3\ \ \ |-2`

`|2x-1|<=-5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |2x-1|>=1`

Pierwsza nierówność nie ma rozwiązań, ponieważ wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Szukamy rozwiązań drugiej nierówności. 

` \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x-1<=-1\ \ \ |+1\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ 2x-1>=1\ \ \ |+1`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x<=0\ \ \ |:2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ 2x>=2\ \ \ |:2`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x<=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x>=1`

`ul(ul(x in (-infty;\ 0>>uu<<1;\ +infty)))`

 

 

`e)`

`||2-x|+5|<=6`

`-6<=|2-x|+5<=6\ \ \ |-5`

`-11<=|2-x|<=1`

Lewa skrajna nierówność jest zawsze prawdziwa, ponieważ wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne (więc w szczególności zawsze będzie większa lub równa -11), dlatego możemy ją opuścić.

`|2-x|<=1`

`-1<=2-x<=1\ \ \ |-2`

`-3<=-x<=-1\ \ \ |*(-1)`

Należy pamiętać, że przy mnożeniu przez liczbę ujemną zmienia się kierunek nierówności.

`3>=x>=1`

`1<=x<=3`

`ul(ul(x in <<1;\ 3>>))`

 

 

 

`f)`

`|7-|2x+1||>=7`

`7-|2x+1|<=-7 \ \ \ |-7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 7-|2x+1|>=7\ \ \ |-7`

`-|2x+1|<=-14\ \ \ |*(-1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -|2x+1|>=0\ \ \ |*(-1)`

`|2x+1|>=14\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |2x+1|<=0`

Wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, dlatego druga nierówność będzie prawdziwa tylko wtedy, gdy lewa strona przyjmie wartość zero. 

`2x+1<=-14\ \ \ |-1\ \ \ "lub"\ \ \ 2x+1>=14\ \ \ |-1\ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |2x+1|=0`

`2x<=-15\ \ \ |:2\ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ 2x>=13\ \ \ |:2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x+1=0\ \ \ |-1`

`x<=-7,5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ x>=6,5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x=-1\ \ \ |:2`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=-0,5`

`ul(ul(x in (-infty;\ -7,5>>uu{-0,5}uu<<6,5;\ +infty)))`

       

 

       

         

 

DYSKUSJA
user profile image
Klaudyna

02-12-2017
dzięki :)
user profile image
Mikołaj

16-11-2017
Super, bardzo pomogło :)
user profile image
Mariusz

12-11-2017
dzięki!!!
user profile image
Józef

17-10-2017
dzieki!!!
user profile image
Leszek

22-09-2017
Dzieki za pomoc :):)
Informacje
MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Dzielniki

Dzielnik liczby to taka liczba, przez którą dana liczba jest podzielna. Dzielnikiem każdej liczby naturalnej n (n>1) jest 1 oraz ona sama.

Inaczej mówiąc, dzielnikiem liczby naturalnej n nazywamy liczbę naturalną m, jeżeli liczba n podzieli się przez m, tzn. gdy istnieje taka liczba naturalna k, że $$n=k•m$$.

Przykład:

10 dzieli się przez 1, 2, 5 i 10, z tego wynika, że dzielnikami liczby 10 są liczby 1, 2, 5 i 10.

Możemy też powiedzieć, że:

  • 1 jest dzielnikiem 10 bo 10=10•1
  • 2 jest dzielnikiem 10 bo 10=5•2
  • 5 jest dzielnikiem 10 bo 10=2•5
  • 10 jest dzielnikiem 10 bo 10=1•10


Jeżeli liczba naturalna m jest dzielnikiem liczby n, to liczba n jest wielokrotnością liczby m.

Przykład:
Liczba 2 jest dzielnikiem liczby 10, czyli liczba 10 jest wielokrotnością liczby 2.
Symboliczny zapis $$m∣n$$ oznacza, że m jest dzielnikiem liczby n (lub n jest wielokrotnością liczby m). Powyższy przykład możemy zapisać jako $$2|10$$ (czytaj: 2 jest dzielnikiem 10).


Dowolna liczba naturalna n, większa od 1 (n>1), która ma tylko dwa dzielniki: 1 oraz samą siebie (czyli liczbę n) nazywamy liczbą pierwszą. Liczbami pierwszymi są liczby: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...

  Zapamiętaj

Liczba 1 nie jest liczbą pierwszą – bo ma tylko jeden dzielnik. Liczba 0 też nie jest liczbą pierwszą – bo ma nieskończenie wiele dzielników.

  Zapamiętaj

Liczbę niebędącą liczbą pierwszą, czyli posiadająca więcej niż dwa dzielniki, nazywamy liczbą złożoną. Liczbami złożonymi są: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18...

  Zapamiętaj

Liczby 1 i 0 nie są liczbami złożonymi.

  Ciekawostka

Liczba doskonała to liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej. Dotychczas znaleziono tylko 46 liczb doskonałych. Przykładem liczby doskonałej jest 6.

Pole prostokąta

Liczbę kwadratów jednostkowych potrzebnych do wypełnienia danego prostokąta nazywamy polem prostokąta.


Prostokąt o bokach długości a i b ma pole równe: $$P = a•b$$.

pole prostokąta

W szczególności: pole kwadratu o boku długości a możemy policzyć ze wzoru: $$P=a•a=a^2$$.

  Zapamiętaj

Przed policzeniem pola prostokąta pamiętaj, aby sprawdzić, czy boki prostokąta są wyrażone w takich samych jednostkach.

Przykład:

  • Oblicz pole prostokąta o bokach długości 2 cm i 4 cm.

    $$ P=2 cm•4 cm=8 cm^2 $$
    Pole tego prostokąta jest równe 8 $$cm^2$$.

Zobacz także
Udostępnij zadanie