Matematyka

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony (Podręcznik, Nowa Era)

Rozwiąż nierówność 4.67 gwiazdek na podstawie 9 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

`a)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=3, druga zeruje się dla x=0. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ 0)`

`\ \ \ |x-3|+|x|<=3`

`\ \ \ -(x-3)-x<=3`

`\ \ \ -x+3-x<=3`

`\ \ \ -2x+3<=3\ \ \ |-3`

`\ \ \ -2x<=0\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x>=0`

`(x>=0\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ 0))\ \ \ =>\ \ \ ul("brak rozwiązań")`

 

 

`2)\ x in <<0;\ 3)`

`\ \ \ |x-3|+|x|<=3`

`\ \ \ -(x-3)+x<=3`

`\ \ \ -x+3+x<=3`

`\ \ \ 3<=3`

Powyższa nierówność jest prawdziwa niezależnie od wartości x, dlatego wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in <<0;\ 3))`

 

 

`3)\ x in <<3;\ +infty)`

`\ \ \ |x-3|+|x|<=3`

`\ \ \ x-3+x<=3`

`\ \ \ 2x-3<=3\ \ \ |+3`

`\ \ \ 2x<=6\ \ \ |:2`

`\ \ \ x<=3`

`(x <=3\ \ \ "i"\ \ \ x in <<3;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x=3)`

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in <<0;\ 3>>))`

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

 

`b)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=1, druga zeruje się dla x=-1. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -1)`

`\ \ \ |1-x|-|1+x|>=2`

`\ \ \ 1-x+(1+x)>=2`

`\ \ \ 1-x+1+x>=2`

`\ \ \ 2>=2`

Powyższa nierówność jest prawdziwa niezależnie od wartości x, dlatego wszystkie liczby z pierwszego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in (-infty;\ -1)`

 

 

`2)\ x in <<-1;\ 1)`

`\ \ \ |1-x|-|1+x|>=2`

`\ \ \ 1-x-(1+x)>=2`

`\ \ \ 1-x-1-x>=2`

`\ \ \ -2x>=2\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x<=-1`

`(x<=-1\ \ \ "i"\ \ \ x in <<-1;\ 1))\ \ \ =>\ \ \ ul(x=-1)`

 

`3)\ x in <<1;\ +infty)`

`\ \ \ |1-x|-|1+x|>=2`

`\ \ \ -(1-x)-(1+x)>=2`

`\ \ \ -1+x-1-x>=2`

`\ \ \ -2>=2`

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w tym przedziale nierówność nie ma rozwiązania.

 

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in (-infty;\ -1>>))`

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

`c)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=5, druga zeruje się dla x=1. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ 1)`

`\ \ \ |x-5|+|x-1|>=4`

`\ \ \ -(x-5)-(x-1)>=4`

`\ \ \ -x+5-x+1>=4`

`\ \ \ -2x+6>=4\ \ \ |-6`

`\ \ \ -2x>=-2\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x<=1`

`(x <=1\ \ \ "i"\ \ \ x <=1)\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-infty;\ 1))`

 

 

`2)\ x in <<1;\ 5)`

`\ \ \ |x-5|+|x-1|>=4`

`\ \ \ -(x-5)+(x-1)>=4`

`\ \ \ -x+5+x-1>=4`

`\ \ \ 4>=4`

Powyższa nierówność jest prawdziwa niezależnie od wartości x, dlatego wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in <<1;\ 5))`

 

 

`3)\ x in <<5;\ +infty)`

`\ \ \ |x-5|+|x-1|>=4`

`\ \ \ x-5+x-1>=4`

`\ \ \ 2x-6>=4\ \ \ |+6`

`\ \ \ 2x>=10\ \ \ |:2`

`\ \ \ x>=5`

`(x>=5\ \ \ "i"\ \ \ x in <<5;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<5;\ +infty))`

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in RR))`

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

`d)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=2, druga zeruje się dla x=-2. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -2)`

`\ \ \ |3x-6|-|x+2|<8`

`\ \ \ -(3x-6)+(x+2)<8`

`\ \ \ -3x+6+x+2<8`

`\ \ \ -2x+8<8\ \ \ |-8`

`\ \ \ -2x<=0\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x>=0`

`(x>=0\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -2))\ \ \ =>\ \ \ ul("brak rozwiązań")`

 

`2)\ x in <<-2;\ 2)`

`\ \ \ |3x-6|-|x+2|<8`

`\ \ \ -(3x-6)-(x+2)<8`

`\ \ \ -3x+6-x-2<8`

`\ \ \ -4x+4<8\ \ \ |-4`

`\ \ \ -4x<4\ \ \ |:(-4)`

`\ \ \ x> -1`

`(x> -1\ \ \ "i"\ \ \ x in <<-2;\ 2))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-1;\ 2))`

 

 

`3)\ x in <<2;\ +infty)`

`\ \ \ |3x-6|-|x+2|<8`

`\ \ \ 3x-6-(x+2)<8`

`\ \ \ 3x-6-x-2<8`

`\ \ \ 2x-8<8\ \ \ |+8`

`\ \ \ 2x<16\ \ \ |:2`

`\ \ \ x<8`

`(x<8\ \ \ "i"\ \ \ x in <<2;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<2;\ 8))`

 

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in (-1;\ 8))`

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

`e)`

`sqrt(x^2+4x+4)+|x|<=5`

`sqrt(x^2+2*x*2+2^2)+|x|<=5`

`sqrt((x+2)^2)+|x|<=5`

`|x+2|+|x|<=5`

 

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=-2, druga zeruje się dla x=0. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -2)`

`\ \ \ |x+2|+|x|<=5`

`\ \ \ -(x+2)-x<=5`

`\ \ \ -x-2-x<=5`

`\ \ \ -2x-2<=5\ \ \ |+2`

`\ \ \ -2x<=7\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x>=-7/2`

`\ \ \ x>=-3 1/2`

`(x>=-3 1/2\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -2))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<-3 1/2;\ -2))`

 

`2)\ x in <<-2;\ 0)`

`\ \ \ |x+2|+|x|<=5`

`\ \ \ x+2-x<=5`

`\ \ \ 2<=5`

Powyższa nierówność jest prawdziwa niezależnie od wartości x, dlatego wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in <<-2;\ 0))`

 

`3)\ x in <<0;\ +infty)`

`\ \ \ |x+2|+|x|<=5`

`\ \ \ x+2+x<=5`

`\ \ \ 2x+2<=5\ \ \ |-2`

`\ \ \ 2x<=3\ \ \ |:2`

`\ \ \ x<=3/2`

`\ \ \ x<=1 1/2`

`(x<=1 1/2\ \ \ "i"\ \ \ x in <<0;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<0;\ 1 1/2>>)`

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in <<-3 1/2;\ 1 1/2>>))`

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

`f)`

`sqrt(9-6x+x^2)-3>sqrt(x^2)`

`sqrt(x^2-6x+9)-3>|x|`

`sqrt(x^2-2*x*3+3^2)-3>|x|`

`sqrt((x-3)^2)-3>|x|`

`|x-3|-3>|x|`

 

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=3, druga zeruje się dla x=0. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

 

`1)\ x in (-infty;\ 0)`

`\ \ \ |x-3|-3>|x|`

`\ \ \ -(x-3)-3> -x`

`\ \ \ -x+3-3 > -x`

`\ \ \ -x>=-x\ \ \ |+x`

`\ \ \ 0>0`

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w pierwszym przedziale nierówność nie ma rozwiązania.  

 

 

 

`2)\ x in <<0;\ 3)`

`\ \ \ |x-3|-3>|x|`

`\ \ \ -(x-3)-3>x`

`\ \ \ -x+3-3>x`

`\ \ \ -x>x\ \ \ |-x`

`\ \ \ -2x>0\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x<0`

`(x<\ \ \ "i"\ \ \ x in <<0;\ 3))\ \ \ =>\ \ \ ul("brak rozwiązań")`

 

 

`3)\ x in <<3;\ +infty)`

`\ \ \ |x-3|-3>|x|`

`\ \ \ x-3-3>x`

`\ \ \ x-6>x\ \ \ |-x`

`\ \ \-6>0`

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w trzecim przedziale nierówność nie ma rozwiązania.  

 

 

   

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy, że nierówność nie ma rozwiązania. 

`ul(ul("brak rozwiązania"))`

 

DYSKUSJA
user profile image
Gość

05-11-2017
Dzięki!!!
Informacje
MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Wyłączenie całości z ułamka niewłaściwego

Jeśli ułamek jest niewłaściwy (czyli jego mianownik jest równy lub mniejszy od licznika) to możemy wyłączyć z niego całość, tzn. dzielimy (być może zresztą) licznik przez mianownik (tzn. sprawdzamy ile razy mianownik „zmieści się” z liczniku) i otrzymujemy w ten sposób liczbę naturalną, będącą całością (tzw. składnik całkowity) oraz resztę, która jest ułamkiem właściwym (tzw. składnik ułamkowy).

Przykład: $$9/4 = 2 1/4$$

Opis powyższego przykładu: Dzielimy 9 przez 4, czyli sprawdzamy ile razy 4 zmieści się w 9. Liczba 4 zmieści się 2 razy w liczbie 9, czyli otrzymujemy 2 i resztę 1 (bo $$2•4= 8$$, czyli do 9 brakuje 1, i ona jest naszą resztą).

Wielokrotności

Wielokrotność liczby to dana liczba pomnożona przez 1,2,3,4,5 itd.
Inaczej mówiąc, wielokrotność liczby n to każda liczba postaci 1•n, 2•n, 3•n, 4•n, 5•n ...

Przykłady:

  • wielokrotnością liczby 4 jest:
    • 4, bo $$4=1•4$$
    • 8, bo $$8=2•4$$
    • 12, bo $$12=3•4$$
    • 16, bo $$16=4•4$$
    • 20, bo $$20=5•4$$
       
  • wielokrotnością liczby 8 jest:
    • 8, bo $$8=1•8$$
    • 16, bo $$16=2•8$$
    • 24, bo $$24=3•8$$
    • 32, bo $$32=4•8$$
    • 40, bo $$40=5•8$$
Zobacz także
Udostępnij zadanie