W każdym przykładzie przyrównujemy wyrazenie pod wartością bezwzględną do zera, dzięki czemu wyznaczymy wartość x, która podzieli zbiór liczb rzeczywistych na dwa przedziały, w których rozpatrujemy równość. 

 

$a)$

$x-1=0\mid +1$

$x=1$

 

 

$1)x\in \left(-\infty ;1\right)$

$\left|x-1\right|-2x=4$

$-\left(x-1\right)-2x=4$

$-x+1-2x=4$

$-3x+1=4\mid -1$

$-3x=3\mid :\left(-3\right)$

$x=-1\in \left(-\infty ;1\right)$

 

 

$2)x\in ⟨1;+\infty )$

$\left|x-1\right|-2x=4$

$x-1-2x=4$

$-x-1=4\mid +1$

$-x=5\mid \cdot \left(-1\right)$

$x=-5\notin ⟨1;+\infty )$

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

$\underline{\underline{x=-1}}$

 

 

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

 

$b)$

$x-1=0\mid +1$

$x=1$

 

 

$1)x\in \left(-\infty ;1\right)$

$\left|x-1\right|+x=2$

$-\left(x-1\right)+x=2$

$-x+1+x=2$

$1=2$

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w pierwszym przedziale równanie nie ma rozwiązania.

 

 

$2)x\in ⟨1;+\infty )$

$\left|x-1\right|+x=2$

$x-1+x=2$

$2x-1=2\mid +1$

$2x=3\mid :2$

$x=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}\in ⟨1;+\infty )$

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

$\underline{\underline{x=1\frac{1}{2}}}$

 

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

 

$c)$

$x+4=0\mid -4$

$x=-4$

 

 

$1)x\in \left(-\infty ;-4\right)$

$\left|x+4\right|+1=2x$

$-\left(x+4\right)+1=2x$

$-x-4+1=2x$

$-x-3=2x\mid +x$

$-3=3x\mid :3$

$-1=x$

$x=-1\notin \left(-\infty l-4\right)$

 

 

$2)x\in ⟨-4;+\infty )$

$\left|x+4\right|+1=2x$

$x+4+1=2x$

$x+5=2x\mid -x$

$5=x$

$x=5\in ⟨-4;+\infty )$

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

$\underline{\underline{x=5}}$

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

 

$d)$

$3-x=0\mid -3$

$-x=-3\mid \cdot \left(-1\right)$

$x=3$

 

$1)x\in \left(-\infty ;3\right)$

$\left|3-x\right|=x-1$

$3-x=x-1\mid -x$

$3-2x=-1\mid -3$

$-2x=-4\mid :\left(-2\right)$

$x=2\in \left(-\infty ;3\right)$

 

$2)x\in ⟨3;+\infty )$

$\left|3-x\right|=x-1$

$-\left(3-x\right)=x-1$

$-3+x=x-1\mid -x$

$-3=-1$

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w drugim przedziale równanie nie ma rozwiązania.

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

$\underline{\underline{x=2}}$

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

$e)$

Uprośćmy najpierw równanie:

$\left|2x+4\right|-2x=4$

$\left|2\right|\cdot \left|x+2\right|-2x=4$

$2\left|x+2\right|-2x=4\mid :2$

$\left|x+2\right|-x=2$

 

Teraz przyrównujemy wyrażenie pod wartością bezwzględną do zera:

$x+2=0\mid -2$

$x=-2$

 

Wracamy do rozwiązania równania:

$1)x\in \left(-\infty ;-2\right)$

$\left|x+2\right|-x=2$

$-\left(x+2\right)-x=2$

$-x-2-x=2$

$-2x-2=2\mid +2$

$-2x=4\mid :\left(-2\right)$

$x=-2\notin \left(-\infty ;-2\right)$

 

$2)x\in ⟨-2;+\infty )$

$\left|x+2\right|-x=2$

$x+2-x=2$

$2=2$

Otrzymaliśmy równość, która jest zawsze prawdziwa, więc wszystkie liczby z drugiego przedziału spełniają tą nierówność. 

 

$\underline{\underline{x\in ⟨-2;+\infty )}}$

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

$f)$

$x-4=0\mid +4$

$x=4$

 

$1)x\in \left(-\infty ;4\right)$

$x\left|x-4\right|=x^2+4x$

$x\cdot \left(-\left(x-4\right)\right)=x^2+4x$

$x\cdot \left(-x+4\right)=x^2+4x$

$-x^2+4x=x^2+4x\mid -4x$

$-x^2=x^2\mid -x^2$

$-2x^2=0\mid :\left(-2\right)$

$x^2=0$

W każdym przykładzie przyrównujemy wyrazenie pod wartością bezwzględną do zera, dzięki czemu wyznaczymy wartość x, która podzieli zbiór liczb rzeczywistych na dwa przedziały, w których rozpatrujemy równość. 

 

$a)$

$x-1=0\mid +1$

$x=1$

 

 

$1)x\in \left(-\infty ;1\right)$

$\left|x-1\right|-2x=4$

$-\left(x-1\right)-2x=4$

$-x+1-2x=4$

$-3x+1=4\mid -1$

$-3x=3\mid :\left(-3\right)$

$x=-1\in \left(-\infty ;1\right)$

 

 

$2)x\in ⟨1;+\infty )$

$\left|x-1\right|-2x=4$

$x-1-2x=4$

$-x-1=4\mid +1$

$-x=5\mid \cdot \left(-1\right)$

$x=-5\notin ⟨1;+\infty )$

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

$\underline{\underline{x=-1}}$

 

 

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

 

$b)$

$x-1=0\mid +1$

$x=1$

 

 

$1)x\in \left(-\infty ;1\right)$

$\left|x-1\right|+x=2$

$-\left(x-1\right)+x=2$

$-x+1+x=2$

$1=2$

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w pierwszym przedziale równanie nie ma rozwiązania.

 

 

$2)x\in ⟨1;+\infty )$

$\left|x-1\right|+x=2$

$x-1+x=2$

$2x-1=2\mid +1$

$2x=3\mid :2$

$x=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}\in ⟨1;+\infty )$

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

$\underline{\underline{x=1\frac{1}{2}}}$

 

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

 

$c)$

$x+4=0\mid -4$

$x=-4$

 

 

$1)x\in \left(-\infty ;-4\right)$

$\left|x+4\right|+1=2x$

$-\left(x+4\right)+1=2x$

$-x-4+1=2x$

$-x-3=2x\mid +x$

$-3=3x\mid :3$

$-1=x$

$x=-1\notin \left(-\infty l-4\right)$

 

 

$2)x\in ⟨-4;+\infty )$

$\left|x+4\right|+1=2x$

$x+4+1=2x$

$x+5=2x\mid -x$

$5=x$

$x=5\in ⟨-4;+\infty )$

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

$\underline{\underline{x=5}}$

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

 

$d)$

$3-x=0\mid -3$

$-x=-3\mid \cdot \left(-1\right)$

$x=3$

 

$1)x\in \left(-\infty ;3\right)$

$\left|3-x\right|=x-1$

$3-x=x-1\mid -x$

$3-2x=-1\mid -3$

$-2x=-4\mid :\left(-2\right)$

$x=2\in \left(-\infty ;3\right)$

 

$2)x\in ⟨3;+\infty )$

$\left|3-x\right|=x-1$

$-\left(3-x\right)=x-1$

$-3+x=x-1\mid -x$

$-3=-1$

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w drugim przedziale równanie nie ma rozwiązania.

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

$\underline{\underline{x=2}}$

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

$e)$

Uprośćmy najpierw równanie:

$\left|2x+4\right|-2x=4$

$\left|2\right|\cdot \left|x+2\right|-2x=4$

$2\left|x+2\right|-2x=4\mid :2$

$\left|x+2\right|-x=2$

 

Teraz przyrównujemy wyrażenie pod wartością bezwzględną do zera:

$x+2=0\mid -2$

$x=-2$

 

Wracamy do rozwiązania równania:

$1)x\in \left(-\infty ;-2\right)$

$\left|x+2\right|-x=2$

$-\left(x+2\right)-x=2$

$-x-2-x=2$

$-2x-2=2\mid +2$

$-2x=4\mid :\left(-2\right)$

$x=-2\notin \left(-\infty ;-2\right)$

 

$2)x\in ⟨-2;+\infty )$

$\left|x+2\right|-x=2$

$x+2-x=2$

$2=2$

Otrzymaliśmy równość, która jest zawsze prawdziwa, więc wszystkie liczby z drugiego przedziału spełniają tą nierówność. 

 

$\underline{\underline{x\in ⟨-2;+\infty )}}$

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

$f)$

$x-4=0\mid +4$

$x=4$

 

$1)x\in \left(-\infty ;4\right)$

$x\left|x-4\right|=x^2+4x$

$x\cdot \left(-\left(x-4\right)\right)=x^2+4x$

$x\cdot \left(-x+4\right)=x^2+4x$

$-x^2+4x=x^2+4x\mid -4x$

$-x^2=x^2\mid -x^2$

$-2x^2=0\mid :\left(-2\right)$

 

$x=0\in \left(-\infty ;4\right)$

 

$2)x\in ⟨4;+\infty )$

$x\left|x-4\right|=x^2+4x$

$x\left(x-4\right)=x^2+4x$

$x^2-4x=x^2+4x\mid -x^2-4x$

$-8x=0\mid :\left(-8\right)$

$x=0\notin ⟨4;+\infty )$

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

$\underline{\underline{x=0}}$