$\text{a)}\left|x+1\right|-\left|x\right|=0$  

Z definicji wartości bezwzględnej mamy:

$\left|x\right|=\{\begin{array}{ll}x& \text{dla}x\ge 0\\ -x& \text{dla}x<0\end{array}$   

$\left|x+1\right|=\{\begin{array}{ll}x+1& \text{dla}x\ge -1\\ -x-1& \text{dla}x<-1\end{array}$   

---

Zatem:

$\left|x+1\right|-\left|x\right|=\{\begin{array}{ll}-x-1-\left(-x\right)& \text{dla}x<-1\\ x+1-\left(-x\right)& \text{dla}-1\le x<0\\ x+1-x& \text{dla}x\ge 0\end{array}$    

---

Mamy więc trzy przypadki:

$1)x\in \left(-\infty ;-1\right)$  

$\left|x+1\right|-\left|x\right|=0$  

$-x-1-\left(-x\right)=0$  

$-x-1+x=0$  

$-1=0$  

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w pierwszym przedziale równanie nie ma rozwiązania. 

---

$2)x\in ⟨-1;0)$  

$\left|x+1\right|-\left|x\right|=0$  

$x+1-\left(-x\right)=0$  

$x+1+x=0$  

$2x+1=0\mid -1$  

$2x=-1\mid :2$   

$x=-\frac{1}{2}\in ⟨-1;0)$  

W drugim przedziale otrzymaliśmy rozwiązanie równania. 

---

$3)x\in ⟨0;+\infty )$  

$\left|x+1\right|-\left|x\right|=0$  

$x+1-x=0$  

$1=0$  

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w trzecim przedziale równanie nie ma rozwiązania. 

---

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy rozwiązanie równania:

$\underline{\underline{x=-\frac{1}{2}}}$  

---

---

$\text{b)}\left|x\right|+\left|x+5\right|=7$  

Z definicji wartości bezwzględnej mamy:

$\left|x\right|=\{\begin{array}{ll}x& \text{dla}x\ge 0\\ -x& \text{dla}x<0\end{array}$   

$\left|x+5\right|=\{\begin{array}{ll}x+5& \text{dla}x\ge -5\\ -x-5& \text{dla}x<-5\end{array}$   

---

Zatem:

$\left|x\right|+\left|x+5\right|=\{\begin{array}{ll}-x+\left(-x-5\right)& \text{dla}x<-5\\ -x+x+5& \text{dla}-5\le x<0\\ x+x+5& \text{dla}x\ge 0\end{array}$  

---

Mamy więc trzy przypadki:

$1)x\in \left(-\infty ;-5\right)$  

$\left|x\right|+\left|x+5\right|=7$  

$-x-\left(x+5\right)=7$  

$-x-x-5=7$  

$-2x-5=7\mid +5$  

$-2x=12\mid :\left(-2\right)$  

$x=-6\in \left(-\infty ;-5\right)$  

W pierwszym przedziale otrzymaliśmy rozwiązanie równania. 

---

$2)x\in ⟨-5;0)$  

$\left|x\right|+\left|x+5\right|=7$  

$-x+x+5=7$  

$5=7$  

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w drugim przedziale równanie nie ma rozwiązania. 

---

$3)x\in ⟨0;+\infty )$  

$\left|x\right|+\left|x+5\right|=7$  

$x+x+5=7$  

$2x+5=7\mid -5$  

$2x=2\mid :2$  

$x=1\in ⟨0;+\infty )$  

W trzecim przedziale otrzymaliśmy rozwiązanie równania. 

---

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy rozwiązanie równania:

$\underline{\underline{x=-6\text{lub}x=1}}$   

---

---

$\text{c)}\left|x\right|-\left|x-4\right|=2$  

Z definicji wartości bezwzględnej mamy:

$\left|x\right|=\{\begin{array}{ll}x& \text{dla}x\ge 0\\ -x& \text{dla}x<0\end{array}$   

$\left|x-4\right|=\{\begin{array}{ll}x-4& \text{dla}x\ge 4\\ -x+4& \text{dla}x<4\end{array}$   

---

Zatem:

$\left|x\right|-\left|x-4\right|=\{\begin{array}{ll}-x-\left(-x+4\right)& \text{dla}x<0\\ x-\left(-x+4\right)& \text{dla}0\le x<4\\ x-\left(x-4\right)& \text{dla}x\ge 4\end{array}$  

---

Mamy więc trzy przypadki:

$1)x\in \left(-\infty ;0\right)$  

$\left|x\right|-\left|x-4\right|=2$  

$-x-\left(-x+4\right)=2$  

$-x+x-4=2$  

$-4=2$  

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w pierwszym przedziale równanie nie ma rozwiązania. 

---

$2)x\in ⟨0;4)$  

$\left|x\right|-\left|x-4\right|=2$  

$x-\left(-x+4\right)=2$  

$x+x-4=2$  

$2x-4=2\mid +4$  

$2x=6\mid :2$  

$x=3\in ⟨0;4)$  

W drugim przedziale otrzymaliśmy rozwiązanie równania. 

---

$3)x\in ⟨4;+\infty )$  

$\left|x\right|-\left|x-4\right|=2$  

$x-\left(x-4\right)=2$  

$x-x+4=2$  

$4=2$  

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w trzecim przedziale równanie nie ma rozwiązania. 

---

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy rozwiązanie równania:

$\underline{\underline{x=3}}$  

---

---

$\text{d)}\left|x+3\right|+\left|x\right|=3$  

Z definicji wartości bezwzględnej mamy:

$\left|x\right|=\{\begin{array}{ll}x& \text{dla}x\ge 0\\ -x& \text{dla}x<0\end{array}$   

$\left|x+3\right|=\{\begin{array}{ll}x+3& \text{dla}x\ge -3\\ -x-3& \text{dla}x<-3\end{array}$   

---

Zatem:

$\left|x\right|+\left|x+3\right|=\{\begin{array}{ll}-x+\left(-x-3\right)& \text{dla}x<-3\\ -x+x+3& \text{dla}-3\le x<0\\ x+x+3& \text{dla}x\ge 0\end{array}$  

---

Mamy więc trzy przypadki:

$1)x\in \left(-\infty ;-3\right)$  

$\left|x+3\right|+\left|x\right|=3$  

$-x-3-x=3$  

$-x-3-x=3$  

$-2x-3=3\mid +3$  

$-2x=6\mid :\left(-2\right)$  

$x=-3\notin \left(-\infty ;-3\right)$  

W pierwszym przedziale równanie nie ma rozwiązania.  

---

$2)x\in ⟨-3;0)$  

$\left|x+3\right|+\left|x\right|=3$  

$x+3-x=3$  

$3=3$  

Powyższa równość jest prawdziwa zawsze, więc wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem równości. 

---

$3)x\in ⟨0;+\infty )$  

$\left|x+3\right|+\left|x\right|=3$  

$x+3+x=3$  

$2x+3=3\mid -3$  

$2x=0\mid :2$  

$x=0\in ⟨0;+\infty )$  

W trzecim przedziale otrzymaliśmy rozwiązanie równości. 

---

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy rozwiązanie równania:

$\underline{\underline{x\in ⟨-3;0⟩}}$  

---

---

$\text{e)}\left|x-2\right|+\left|x+2\right|=4$  

Z definicji wartości bezwzględnej mamy:

$\left|x-2\right|=\{\begin{array}{ll}x-2& \text{dla}x\ge 2\\ -x+2& \text{dla}x<2\end{array}$   

$\left|x+2\right|=\{\begin{array}{ll}x+2& \text{dla}x\ge -2\\ -x-2& \text{dla}x<-2\end{array}$   

---

Zatem:

$\left|x-2\right|+\left|x+2\right|=\{\begin{array}{ll}-x+2+\left(-x-2\right)& \text{dla}x<-2\\ -x+2+x+2& \text{dla}-2\le x<2\\ x-2+x+2& \text{dla}x\ge 2\end{array}$    

---

Mamy więc trzy przypadki:

$1)x\in \left(-\infty ;-2\right)$  

$\left|x-2\right|+\left|x+2\right|=4$  

$-x+2-\left(x+2\right)=4$  

$-x+2-x-2=4$  

$-2x=4\mid :\left(-2\right)$   

$x=-2\notin \left(-\infty ;-2\right)$  

W pierwszym przedziale równanie nie ma rozwiązania.  

---

$2)x\in ⟨-2;2)$  

$\left|x-2\right|+\left|x+2\right|=4$  

$-x+2+x+2=4$  

$-x+2+x+2=4$  

$4=4$  

Powyższa równość jest prawdziwa zawsze, więc wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem równości. 

---

$3)x\in ⟨2;+\infty )$  

$\left|x-2\right|+\left|x+2\right|=4$  

$x-2+x+2=4$  

$2x=4\mid :2$  

$x=2\in ⟨2;+\infty )$  

W trzecim przedziale otrzymaliśmy rozwiązanie równości. 

---

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy rozwiązanie równania:

$\underline{\underline{x\in ⟨-2;2⟩}}$  

---

---

$\text{f)}\left|2x+4\right|-\left|x-1\right|=3$  

$2\left|x+2\right|-\left|x-1\right|=3$  

Z definicji wartości bezwzględnej mamy:

$\left|x-1\right|=\{\begin{array}{ll}x-1& \text{dla}x\ge 1\\ -x+1& \text{dla}x<1\end{array}$   

$\left|x+2\right|=\{\begin{array}{ll}x+2& \text{dla}x\ge -2\\ -x-2& \text{dla}x<-2\end{array}$   

---

Zatem:

$2\left|x+2\right|-\left|x-1\right|=\{\begin{array}{ll}2\left(-x-2\right)-\left(-x+1\right)& \text{dla}x<-2\\ 2\left(x+2\right)-\left(-x+1\right)& \text{dla}-2\le x<1\\ 2\left(x+2\right)-\left(x-1\right)& \text{dla}x\ge 1\end{array}$  

---

Mamy więc trzy przypadki:

$1)x\in \left(-\infty ;-2\right)$  

$\left|2x+4\right|-\left|x-1\right|=3$  

$2\left(-x-2\right)-\left(-x+1\right)=3$  

$-2x-4+x-1=3$  

$-x-5=3\mid +5$   

$-x=8\mid \cdot \left(-1\right)$  

$x=-8\in \left(-\infty ;-2\right)$   

W pierwszym przedziale otrzymaliśmy rozwiązanie równania. 

---

$2)x\in ⟨-2;1)$  

$\left|2x+4\right|-\left|x-1\right|=3$  

$2\left(x+2\right)-\left(-x+1\right)=3$  

$2x+4+x-1=3$   

$3x+3=3\mid -3$  

$3x=0\mid :3$  

$x=0\in ⟨-2;1)$  

W drugim przedziale otrzymaliśmy rozwiązanie równania. 

---

$3)x\in ⟨1;+\infty )$  

$\left|2x+4\right|-\left|x-1\right|=3$  

$2\left(x+2\right)-\left(x-1\right)=3$  

$2x+4-x+1=3$  

$x+5=3\mid -5$  

$x=-2\notin ⟨1;+\infty )$  

W trzecim przedziale równanie nie ma rozwiązania. 

---

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy rozwiązanie równania:

$\underline{\underline{x=-8\text{lub}x=0}}$