Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Rozwiąż nierówność 4.5 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

Rozwiąż nierówność

1
 Zadanie

2
 Zadanie

W każdym przykładzie przyrównujemy wyrażenie pod wartością bezwzględną do zera, dzięki czemu wyznaczymy wartość x, która podzieli zbiór liczb rzeczywistych na dwa przedziały, w których rozpatrujemy równość. 

 

 

`a)` 

`x-2=0\ \ \ |+2` 

`x=2` 

 

`1)\ x in (-infty;\ 2)` 

`\ \ \ |x-2|-3x>1` 

`\ \ \ -(x-2)-3x>1` 

`\ \ \ -x+2-3x>1` 

`\ \ \ -4x+2>1\ \ \ |-2` 

`\ \ \ -4x> -1\ \ \ |:(-4)` 

`\ \ \ x<1/4` 

`(x<1/4\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ 2))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-infty;\ 1/4))`   

 

`2)\ x in <<2;\ +infty)` 

`\ \ \ |x-2|-3x>1` 

`\ \ \ x-2-3x>1` 

`\ \ \ -2x-2>1\ \ \ |+2` 

`\ \ \ -2x>3\ \ \ |:(-2)` 

`\ \ \ x< -2/3` 

 

`(x<-2/3\ \ \ "i"\ \ \ x in<<2;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul("brak rozwiązań")` 

 

Łącząc przypadki 1) i 2) otrzymujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in (-infty;\ 1/4)))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`b)` 

`2x+6=0\ \ \ |-6` 

`2x=-6\ \ \ |:2` 

`x=-3` 

 

`1)\ x in (-infty;\ -3)` 

`\ \ \ |2x+6|+x<=3` 

`\ \ \ -(2x+6)+x<=3` 

`\ \ \ -2x-6+x<=3` 

`\ \ \ -x-6<=3\ \ \ |+6` 

`\ \ \ -x<=9\ \ \ |*(-1)` 

`\ \ \ x>=-9` 

 

`(x >=-9\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -3))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<-9;\ -3))` 

 

 

`2)\ x in <<-3;\ +infty)` 

`\ \ \ |2x+6|+x<=3` 

`\ \ \ 2x+6+x<=3` 

`\ \ \ 3x+6<=3\ \ \ |-6` 

`\ \ \ 3x<=-3\ \ \ |:3` 

`\ \ \ x<=-1` 

 

`(x <=-1\ \ \ "i"\ \ \ x in <<-3;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<-3;\ -1>>)` 

 

 

Łącząc przypadki 1) i 2) otrzymujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in <<-9;\ -1>>))` 

 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

 

`c)` 

`x-5=0\ \ \ |+5` 

`x=5` 

 

`1)\ x in (-infty;\ 5)` 

`\ \ \ |x-5|<x+5` 

`\ \ \ -(x-5)<x+5` 

`\ \ \ -x+5<x+5\ \ \ \ |-x` 

`\ \ \ -2x+5<5\ \ \ |-5` 

`\ \ \ -2x<0\ \ \ |:(-2)` 

`\ \ \ x>0` 

 

 

`(x>0\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ 5))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (0;\ 5))` 

 

`2)\ x in <<5;\ +infty)` 

`\ \ \ |x-5|<x+5` 

`\ \ \ x-5<x+5\ \ \ |-x` 

`\ \ \ -5<5` 

Powyższa nierówność jest spełniona zawsze, więc wszystkie liczby z zadanego przedziału są rozwiązaniem.

`ul(x in <<5;\ +infty)` 

 

Łącząc przypadki 1) i 2) otrzymujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in (0;\ +infty)))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`d)` 

`6+x=0\ \ \ |-6` 

`x=-6` 

 

`1)\ x in (-infty;\ -6)` 

`\ \ \ |6+x|>=2x+6` 

`\ \ \ -(6+x)>=2x+6` 

`\ \ \ -6-x>=2x+6\ \ \ |-2x` 

`\ \ \ -6-3x>=6\ \ \ |+6` 

`\ \ \ -3x>=12\ \ \ |:(-3)` 

`\ \ \ x<=-4` 

`(x <=-4\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -6))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (infty;\ -6))` 

 

`2)\ x in<<-6;\ +infty)` 

`\ \ \ |6+x|>=2x+6` 

`\ \ \ 6+x>=2x+6\ \ \ |-2x` 

`\ \ \ 6-x>=6\ \ \ |-6` 

`\ \ \ -x>=0\ \ \ |*(-1)` 

`\ \ \ x<=0` 

 

`(x<=0\ \ \ "i"\ \ \ x in <<-6;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<-6;\ 0>>)` 

 

Łącząc przypadki 1) i 2) otrzymujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in (-infty;\ 0>>))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`e)` 

Uprośćmy nierówność:

`|3-x|<=x-|2x-6|` 

`|(-1)*(x-3)|<=x-|2(x-3)|` 

`|-1|*|x-3|<=x-|2|*|x-3|` 

`|x-3|<=x-2|x-3|\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |+2|x-3|` 

`3|x-3|<=x`   

 

`x-3=0\ \ \ |+3`   

`x=3` 

 

 

`1)\ x in (-infty;\ 3)` 

`\ \ \ 3|x-3|<=x` 

`\ \ \ -3(x-3)<=x` 

`\ \ \ -3x+9<=x\ \ \ \ |-x` 

`\ \ \ -4x+9<=0\ \ \ |-9` 

`\ \ \ -4x<=-9\ \ \ \ \ |:(-4)` 

`\ \ \ x>=9/4` 

`\ \ \ x>=2 1/4` 

`(x>=2 1/4\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ 3))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<2 1/4;\ 3))` 

 

 

`2)\ x in <<3;\ +infty)` 

`\ \ \ 3|x-3|<=x` 

`\ \ \ 3(x-3)<=x` 

`\ \ \ 3x-9<=x\ \ \ |-x` 

`\ \ \ 2x-9<=0\ \ \ |+9` 

`\ \ \ 2x<=9\ \ \ |:2` 

`\ \ \ x<=9/2` 

`\ \ \ x<=4 1/2` 

`(x <=4 1/2\ \ \ "i"\ \ \ x in <<3;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<3;\ 4 1/2>>)`    

 

Łącząc przypadki 1) i 2) otrzymujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul( x in <<2 1/4;\ 4 1/2>>))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`f)` 

`1-x=0\ \ \ |-1` 

`-x=-1\ \ \ |*(-1)` 

`x=1` 

 

 

`1)\ x in (-infty;\ 1)` 

`\ \ \ x|1-x|<=x+x^2` 

`\ \ \ x(1-x)<=x+x^2` 

`\ \ \ x-x^2<=x+x^2\ \ \ |-x` 

`\ \ \ -x^2<=x^2\ \ \ |-x^2` 

`\ \ \ -2x^2<=0\ \ \ |:(-2)` 

`\ \ \ x^2>=0` 

Powyższa nierówność jest spełniona zawsze, więc wszystkie liczby z zadanego przedziału są rozwiązaniem.

`ul(x in (-infty;\ 1))` 

 

`2)\ x in <<1;\ +infty)` 

`\ \ \ x|1-x|<=x+x^2` 

`\ \ \ x*(-(1-x))<=x+x^2` 

`\ \ \ x*(-1+x)<=x+x^2` 

`\ \ \ -x+x^2<=x+x^2\ \ \ |-x^2` 

`\ \ \ -x<=x\ \ \ |-x` 

`\ \ \ -2x<=0\ \ \ |:(-2)` 

`\ \ \ x>=0` 

`(x>=0\ \ \ "i"\ \ \ x in <<1;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<1;\ +infty))` 

 

Łącząc przypadki 1) i 2) otrzymujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in RR))`