Matematyka

Rozwiąż nierówność 4.5 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

Rozwiąż nierówność

1
 Zadanie

2
 Zadanie

W każdym przykładzie przyrównujemy wyrażenie pod wartością bezwzględną do zera, dzięki czemu wyznaczymy wartość x, która podzieli zbiór liczb rzeczywistych na dwa przedziały, w których rozpatrujemy równość. 

 

 

`a)` 

`x-2=0\ \ \ |+2` 

`x=2` 

 

`1)\ x in (-infty;\ 2)` 

`\ \ \ |x-2|-3x>1` 

`\ \ \ -(x-2)-3x>1` 

`\ \ \ -x+2-3x>1` 

`\ \ \ -4x+2>1\ \ \ |-2` 

`\ \ \ -4x> -1\ \ \ |:(-4)` 

`\ \ \ x<1/4` 

`(x<1/4\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ 2))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-infty;\ 1/4))`   

 

`2)\ x in <<2;\ +infty)` 

`\ \ \ |x-2|-3x>1` 

`\ \ \ x-2-3x>1` 

`\ \ \ -2x-2>1\ \ \ |+2` 

`\ \ \ -2x>3\ \ \ |:(-2)` 

`\ \ \ x< -2/3` 

 

`(x<-2/3\ \ \ "i"\ \ \ x in<<2;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul("brak rozwiązań")` 

 

Łącząc przypadki 1) i 2) otrzymujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in (-infty;\ 1/4)))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`b)` 

`2x+6=0\ \ \ |-6` 

`2x=-6\ \ \ |:2` 

`x=-3` 

 

`1)\ x in (-infty;\ -3)` 

`\ \ \ |2x+6|+x<=3` 

`\ \ \ -(2x+6)+x<=3` 

`\ \ \ -2x-6+x<=3` 

`\ \ \ -x-6<=3\ \ \ |+6` 

`\ \ \ -x<=9\ \ \ |*(-1)` 

`\ \ \ x>=-9` 

 

`(x >=-9\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -3))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<-9;\ -3))` 

 

 

`2)\ x in <<-3;\ +infty)` 

`\ \ \ |2x+6|+x<=3` 

`\ \ \ 2x+6+x<=3` 

`\ \ \ 3x+6<=3\ \ \ |-6` 

`\ \ \ 3x<=-3\ \ \ |:3` 

`\ \ \ x<=-1` 

 

`(x <=-1\ \ \ "i"\ \ \ x in <<-3;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<-3;\ -1>>)` 

 

 

Łącząc przypadki 1) i 2) otrzymujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in <<-9;\ -1>>))` 

 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

 

`c)` 

`x-5=0\ \ \ |+5` 

`x=5` 

 

`1)\ x in (-infty;\ 5)` 

`\ \ \ |x-5|<x+5` 

`\ \ \ -(x-5)<x+5` 

`\ \ \ -x+5<x+5\ \ \ \ |-x` 

`\ \ \ -2x+5<5\ \ \ |-5` 

`\ \ \ -2x<0\ \ \ |:(-2)` 

`\ \ \ x>0` 

 

 

`(x>0\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ 5))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (0;\ 5))` 

 

`2)\ x in <<5;\ +infty)` 

`\ \ \ |x-5|<x+5` 

`\ \ \ x-5<x+5\ \ \ |-x` 

`\ \ \ -5<5` 

Powyższa nierówność jest spełniona zawsze, więc wszystkie liczby z zadanego przedziału są rozwiązaniem.

`ul(x in <<5;\ +infty)` 

 

Łącząc przypadki 1) i 2) otrzymujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in (0;\ +infty)))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`d)` 

`6+x=0\ \ \ |-6` 

`x=-6` 

 

`1)\ x in (-infty;\ -6)` 

`\ \ \ |6+x|>=2x+6` 

`\ \ \ -(6+x)>=2x+6` 

`\ \ \ -6-x>=2x+6\ \ \ |-2x` 

`\ \ \ -6-3x>=6\ \ \ |+6` 

`\ \ \ -3x>=12\ \ \ |:(-3)` 

`\ \ \ x<=-4` 

`(x <=-4\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -6))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (infty;\ -6))` 

 

`2)\ x in<<-6;\ +infty)` 

`\ \ \ |6+x|>=2x+6` 

`\ \ \ 6+x>=2x+6\ \ \ |-2x` 

`\ \ \ 6-x>=6\ \ \ |-6` 

`\ \ \ -x>=0\ \ \ |*(-1)` 

`\ \ \ x<=0` 

 

`(x<=0\ \ \ "i"\ \ \ x in <<-6;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<-6;\ 0>>)` 

 

Łącząc przypadki 1) i 2) otrzymujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in (-infty;\ 0>>))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`e)` 

Uprośćmy nierówność:

`|3-x|<=x-|2x-6|` 

`|(-1)*(x-3)|<=x-|2(x-3)|` 

`|-1|*|x-3|<=x-|2|*|x-3|` 

`|x-3|<=x-2|x-3|\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |+2|x-3|` 

`3|x-3|<=x`   

 

`x-3=0\ \ \ |+3`   

`x=3` 

 

 

`1)\ x in (-infty;\ 3)` 

`\ \ \ 3|x-3|<=x` 

`\ \ \ -3(x-3)<=x` 

`\ \ \ -3x+9<=x\ \ \ \ |-x` 

`\ \ \ -4x+9<=0\ \ \ |-9` 

`\ \ \ -4x<=-9\ \ \ \ \ |:(-4)` 

`\ \ \ x>=9/4` 

`\ \ \ x>=2 1/4` 

`(x>=2 1/4\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ 3))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<2 1/4;\ 3))` 

 

 

`2)\ x in <<3;\ +infty)` 

`\ \ \ 3|x-3|<=x` 

`\ \ \ 3(x-3)<=x` 

`\ \ \ 3x-9<=x\ \ \ |-x` 

`\ \ \ 2x-9<=0\ \ \ |+9` 

`\ \ \ 2x<=9\ \ \ |:2` 

`\ \ \ x<=9/2` 

`\ \ \ x<=4 1/2` 

`(x <=4 1/2\ \ \ "i"\ \ \ x in <<3;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<3;\ 4 1/2>>)`    

 

Łącząc przypadki 1) i 2) otrzymujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul( x in <<2 1/4;\ 4 1/2>>))` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`f)` 

`1-x=0\ \ \ |-1` 

`-x=-1\ \ \ |*(-1)` 

`x=1` 

 

 

`1)\ x in (-infty;\ 1)` 

`\ \ \ x|1-x|<=x+x^2` 

`\ \ \ x(1-x)<=x+x^2` 

`\ \ \ x-x^2<=x+x^2\ \ \ |-x` 

`\ \ \ -x^2<=x^2\ \ \ |-x^2` 

`\ \ \ -2x^2<=0\ \ \ |:(-2)` 

`\ \ \ x^2>=0` 

Powyższa nierówność jest spełniona zawsze, więc wszystkie liczby z zadanego przedziału są rozwiązaniem.

`ul(x in (-infty;\ 1))` 

 

`2)\ x in <<1;\ +infty)` 

`\ \ \ x|1-x|<=x+x^2` 

`\ \ \ x*(-(1-x))<=x+x^2` 

`\ \ \ x*(-1+x)<=x+x^2` 

`\ \ \ -x+x^2<=x+x^2\ \ \ |-x^2` 

`\ \ \ -x<=x\ \ \ |-x` 

`\ \ \ -2x<=0\ \ \ |:(-2)` 

`\ \ \ x>=0` 

`(x>=0\ \ \ "i"\ \ \ x in <<1;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<1;\ +infty))` 

 

Łącząc przypadki 1) i 2) otrzymujemy zbiór rozwiązań nierówności:

`ul(ul(x in RR))` 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Mnożenie ułamków dziesiętnych przez 10, 100, 1000...

Aby pomnożyć ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000 itd. należy przesunąć przecinek w prawo o tyle miejsc ile jest zer w liczbie przez którą mnożymy (czyli w 10, 100, 1000 itd.).

Przykłady:

  • $$0,253•10= 2,53$$ ← przesuwamy przecinek o jedno miejsce w prawo
  • $$3,007•100= 300,7$$ ← przesuwamy przecinek o dwa miejsca w prawo
  • $$0,024•1000= 24$$ ← przesuwamy przecinek o trzy miejsca w prawo
Pole prostokąta

Liczbę kwadratów jednostkowych potrzebnych do wypełnienia danego prostokąta nazywamy polem prostokąta.


Prostokąt o bokach długości a i b ma pole równe: $$P = a•b$$.

pole prostokąta

W szczególności: pole kwadratu o boku długości a możemy policzyć ze wzoru: $$P=a•a=a^2$$.

  Zapamiętaj

Przed policzeniem pola prostokąta pamiętaj, aby sprawdzić, czy boki prostokąta są wyrażone w takich samych jednostkach.

Przykład:

  • Oblicz pole prostokąta o bokach długości 2 cm i 4 cm.

    $$ P=2 cm•4 cm=8 cm^2 $$
    Pole tego prostokąta jest równe 8 $$cm^2$$.

Zobacz także
Udostępnij zadanie