Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Uzasadnij, że jeśli jeden bok prostokąta 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

Drugi bok ma długość n, gdzie n jest liczbą naturalną. Jeśli jest to długość boku, to należy zauważyć, że nie może być ona równa zero. 

Długość przekątnej prostokąta możemy obliczyć, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. 

 

`1^2+n^2=d^2` 

`1+n^2=d^2` 

`d^2=n^2+1` 

`d=sqrt(n^2+1)` 

 

Chcemy uzasadnić, że powyższy pierwiastek jest liczbą niewymierną.  Jeśli n było liczbą naturalną, to n2 także jest liczbą naturalną. Jeśli do liczby naturalnej dodamy 1, to uzyskamy także liczbę naturalną, więc n2+1 jest liczbą naturalną. Jeśli więc wyrażenie pod pierwiastkiem jest liczbą naturalną, to ten pierwiastek byłby liczbą wymierną tylko wtedy, gdyby wyrażenie pod pierwiastkiem było kwadratem pewnej liczby naturalnej. Musiałaby więc zachodzić równość:

`n^2+1=x^2\ \ \ \ \ \ (x \-\ "l. naturalna")` 

Można to zapisać w sposób równoważny:

`1=x^2-n^2` 

`x^2-n^2=1\ \ \ \ (**)`  

 

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Wzór ten pojawił się w drugiej gimnazjum, jednak przypomnimy go:

`a^2-b^2=(a-b)(a+b)` 

 

Możemy więc zapisać równość oznaczoną gwiazdką w równoważny sposób:

`(x-n)(x+n)=1` 

Liczby x oraz n są liczbami naturalnymi. Różnica x-n jest więc liczbą całkowitą, a suma x+n jest liczbą naturalną. Iloczyn liczby całkowitej i naturalnej jest równy 1 tylko wtedy, gdy obie te liczby są równe 1. Musiałyby więc zachodzić równości:

`{(x-n=1), (x+n=1):}\ \ \ |+` 

`2x=2\ \ \ |:2` 

`x=1` 

Wstawiamy obliczoną wartość x do drugiego równania:

`1+n=1\ \ \ |-1` 

`n=0` 

Nie jest to możliwe, ponieważ n jako długość boku musi być liczbą większą od 0. 

Otrzymaliśmy sprzeczność, co oznacza, że liczba n2+1 nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej, więc pierwiastek z liczby n2+1 nie może być liczbą wymierną.