Matematyka

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony (Podręcznik, Nowa Era)

Uzasadnij, że jeśli jeden bok prostokąta 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

Drugi bok ma długość n, gdzie n jest liczbą naturalną. Jeśli jest to długość boku, to należy zauważyć, że nie może być ona równa zero. 

Długość przekątnej prostokąta możemy obliczyć, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. 

 

`1^2+n^2=d^2`

`1+n^2=d^2`

`d^2=n^2+1`

`d=sqrt(n^2+1)`

 

Chcemy uzasadnić, że powyższy pierwiastek jest liczbą niewymierną.  Jeśli n było liczbą naturalną, to n2 także jest liczbą naturalną. Jeśli do liczby naturalnej dodamy 1, to uzyskamy także liczbę naturalną, więc n2+1 jest liczbą naturalną. Jeśli więc wyrażenie pod pierwiastkiem jest liczbą naturalną, to ten pierwiastek byłby liczbą wymierną tylko wtedy, gdyby wyrażenie pod pierwiastkiem było kwadratem pewnej liczby naturalnej. Musiałaby więc zachodzić równość:

`n^2+1=x^2\ \ \ \ \ \ (x \-\ "l. naturalna")`

Można to zapisać w sposób równoważny:

`1=x^2-n^2`

`x^2-n^2=1\ \ \ \ (**)`

 

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Wzór ten pojawił się w drugiej gimnazjum, jednak przypomnimy go:

`a^2-b^2=(a-b)(a+b)`

 

Możemy więc zapisać równość oznaczoną gwiazdką w równoważny sposób:

`(x-n)(x+n)=1`

Liczby x oraz n są liczbami naturalnymi. Różnica x-n jest więc liczbą całkowitą, a suma x+n jest liczbą naturalną. Iloczyn liczby całkowitej i naturalnej jest równy 1 tylko wtedy, gdy obie te liczby są równe 1. Musiałyby więc zachodzić równości:

`{(x-n=1), (x+n=1):}\ \ \ |+` 

`2x=2\ \ \ |:2` 

`x=1` 

Wstawiamy obliczoną wartość x do drugiego równania:

`1+n=1\ \ \ |-1` 

`n=0` 

Nie jest to możliwe, ponieważ n jako długość boku musi być liczbą większą od 0. 

Otrzymaliśmy sprzeczność, co oznacza, że liczba n2+1 nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej, więc pierwiastek z liczby n2+1 nie może być liczbą wymierną.

DYSKUSJA
user profile image
Karol

2 listopada 2017
Dzięki za pomoc :)
user profile image
Jakub

2 października 2017
Dzięki!
Informacje
MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Porównywanie ułamków

Porównywanie dwóch ułamków polega na stwierdzeniu, który z nich jest mniejszy, który większy.

  • Porównywanie ułamków o takich samych mianownikach
    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to ten jest większy, który ma większy licznik

    Przykład:

    $$3/8$$ < $$5/8$$
     
  • Porównywanie ułamków o takich samych licznikach
    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same liczniki, to ten jest większy, który ma mniejszy mianownik.

    Przykład:

    $$4/5$$ > $$4/9$$
Oś liczbowa

Oś liczbowa to prosta, na której każdemu punktowi jest przypisana dana wartość liczbowa, zwana jego współrzędną.

Przykład:

osie liczbowe

Odcinek jednostkowy na tej osi to część prostej między -1 i 0.

Po prawej stronie od 0 znajduje się zbiór liczb nieujemnych, a po lewej zbiór liczb niedodatnich. Grot strzałki wskazuje, że w prawą stronę rosną wartości współrzędnych. Oznacza to, że wśród wybranych dwóch współrzędnych większą wartość ma ta, która leży po prawej stronie (względem drugiej współrzędnej).

Zobacz także
Udostępnij zadanie