Matematyka

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony (Podręcznik, Nowa Era)

Znajdź wartość największą i wartość najmniejszą 4.57 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

Znajdź wartość największą i wartość najmniejszą

7
 Zadanie

`a)`

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x+4:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0+4=0+4=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 4)`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=2*1+4=2+4=6\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ 6)`

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x-4:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0-4=0-4=-4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -4)`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=2*2-4=4-4=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 0)`

 

Przez odpowiednie punkty rysujemy proste y=2x+4, y=2x-4, y=-2 oraz x=6 w jednym układzie współrzędnych. 

 

Zaznaczamy obszar znajdujący się jednocześnie pod prostą y=2x+4, nad prostą y=2x-4, nad prostą y=-2 oraz na lewo od prostej x=-6. 

 

Otrzymaliśmy czworokąt o wierzchołkach (-3, -2), (1; -2), (6; 8) oraz (6; 16). Obliczamy dla nich wartości sumy x+y:

`(-3;\ -2):\ \ \ x+y=-3+(-2)=-5` 

`(1;\ -2):\ \ \ \ \ x+y=1+(-2)=-1` 

`(6;\ 8):\ \ \ \ \ \ \ x+y=6+8=14` 

`(6;\ 16):\ \ \ \ \ \ x+y=6+16=22` 

Największa wartość tej sumy wynosi 22, a najmniejsza wynosi -5.

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`b)` 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x+9:

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=2*(-2)+9=-4+9=5\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-2;\ 5)` 

`x=-4\ \ \ ->\ \ \ y=2*(-4)+9=-8+9=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-4;\ 1)` 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x-6.   

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=2*1-6=2-6=-4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ \ \ (1;\ -4)`  

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=2*2-6=4-6=-2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ -2)` 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należacych do prostej y=-x-3:

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-1-3=-4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ -4)` 

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-2-3=-5\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ -5)` 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=-½x+4:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-1/2*0+4=0+4=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 4)`  

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-1/2*2+4=-1+4=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 3)` 

 

Przez odpowiednie punkty prowadzimy proste. 

 

 

Zaznaczamy obszar spełniający układ nierówności (obszar znajduje się jednocześnie pod pierwszą prostą, nad drugą prostą, nad trzecią prostą oraz pod czwartą prostą). 

 

Otrzymaliśmy czworokąt o wierzchołkach (-4; 1), (1; -4), (4; 2) oraz (-2; 5).  Obliczamy dla nich wartości sumy x+y:

`(-4;\ 1):\ \ \ x+y=-4+1=-3`  

`(1;\ -4):\ \ \ x+y=1+(-4)=-3` 

`(4;\ 2):\ \ \ \ \ x+y=4+2=6` 

`(-2;\ 5):\ \ \ x+y=-2+5=3` 

Największa wartość sumy wynosi 6, a najmniejsza wartość sumy wynosi -3. 

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`c)` 

Przekształćmy pierwszą nierówność:

`x-6<=0\ \ \ |+6` 

`x<=6` 

 

 

Przekształćmy drugą nierówność:

`x-y+3>=0\ \ \ |-x-3` 

`-y>=-x-3\ \ \ |*(-1)` 

`y<=x+3` 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=x+3:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=0+3=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 3)` 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=1+3=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ 4)` 

 

 

Przekształćmy trzecią nierówność:

`x+y-7<=0\ \ \ |-x+7` 

`y<=-x+7` 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=-x+7:

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=-3+7=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ 4)` 

`x=5\ \ \ ->\ \ \ y=-5+7=2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (5;\ 2)` 

 

 

Przekształćmy czwartą nierówność:

`x+3y+3>=0\ \ \ |-x-3` 

`3y>=-x-3\ \ \ |:3` 

`y>=-1/3x-1` 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=-¹/₃x-1. 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-1/3*0-1=0-1=-1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -1)` 

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=-1/3*3-1=-1-1=-2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ -2)` 

 

 

Przez odpowiednie punkty prowadzimy proste. 

 

 

Zaznaczamy obszar spełniający układ nierówności (obszar znajdujący się jednocześnie na lewo od pierwszej prostej, pod drugą prostą, pod trzecią prostą oraz nad czwartą prostą):

 

Otrzymaliśmy czworokąt o wierzchołkach (-3; 0), (6; -3), (6; 1) oraz (2; 5). Obliczamy dla nich wartości sumy x+y:

`(-3;\ 0):\ \ \ x+y=-3+0=-3` 

`(6;\ -3):\ \ \ x+y=6+(-3)=3` 

`(6;\ 1):\ \ \ \ \ x+y=6+1=7` 

`(2;\ 5):\ \ \ \ \ x+y=2+5=7` 

Największa wartość sumy jest równa 7, a najmniejsza jest równa -3.  

 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Równość ułamków

Każdy ułamek można zapisać na nieskończoną ilość sposobów. Dokonując operacji rozszerzania lub skracania otrzymujemy ułamek, który jest równy ułamkowi wyjściowemu.

Pamiętajmy jednak, że każdy ułamek można rozszerzyć, jednak nie każdy ułamek można skrócić. Ułamki, których nie da się już skrócić nazywamy ułamkami nieskracalnymi.

  • Rozszerzanie ułamków - mnożymy licznik i mianownik przez tą sama liczbę różną od zera; ułamek otrzymamy w ten sposób jest równy ułamkowi wyjściowemu.

    Przykład:

    • Rozszerzmy ułamek $$3/5$$ przez 3, czyli licznik i mianownik mnożymy przez 3:

      $$3/5=9/{15}={27}/{45}=...$$
       
  • Skracanie ułamków - dzielimy licznik i mianownik przez tą samą liczbę różną od zera; ułamek otrzymany w ten sposób jest równy ułamkowi wyjściowemu.

    Przykład:

    • Skróćmy ułamek $$8/{16}$$ przez 2, czyli licznik i mianownik dzielimy przez 2:

      $$8/{16}=4/8=2/4=1/2$$ 
 
Dzielenie z resztą

Na początek zapoznajmy się z twierdzeniem o dzieleniu z resztą, które brzmi następująco:
"Dla pary liczb całkowitych a i b (gdzie b ≠ 0) istnieją liczby całkowite q i r, dla których spełnione jest równanie a = qb + r, gdzie 0 ≤ r < │b│. Liczby q i r nazywa się odpowiednio ilorazem i resztą z dzielenia a przez b."

Innymi słowy, dzielenie z resztą to takie dzielenie, w którym iloraz nie jest liczbą całkowitą.

Przykład obliczania reszty z dzielenia:

  1. Podzielmy liczbę 23 przez 3.
  2. Wynikiem dzielenia nie jest liczba całkowita (nie dzieli się równo). Maksymalna liczba trójek, które zmieszczą się w 23 to 7.
  3. $$7 • 3 = 21$$
  4. Różnica między liczbami 23 i 21 wynosi 2, zatem resztą z tego dzielenia jest liczba 2.
  5. Poprawny zapis działania: $$21÷3=7$$ $$r.2$$

Przykłady:

  • $$5÷2=2$$ r. 1
  • $$27÷9=3$$ r. 0
  • $$(-8)÷(-3)=3 r. 1$$
  • $$(-15)÷4=-3$$ .r -3 lub $$(-15)÷4=-4$$ r. 1

  Zapamiętaj

Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.

Zobacz także
Udostępnij zadanie