Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Znajdź wartość największą i wartość najmniejszą 4.57 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

Znajdź wartość największą i wartość najmniejszą

7
 Zadanie

`a)` 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x+4:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0+4=0+4=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 4)` 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=2*1+4=2+4=6\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ 6)` 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x-4:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0-4=0-4=-4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -4)`  

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=2*2-4=4-4=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 0)` 

 

Przez odpowiednie punkty rysujemy proste y=2x+4, y=2x-4, y=-2 oraz x=6 w jednym układzie współrzędnych. 

 

Zaznaczamy obszar znajdujący się jednocześnie pod prostą y=2x+4, nad prostą y=2x-4, nad prostą y=-2 oraz na lewo od prostej x=-6. 

 

Otrzymaliśmy czworokąt o wierzchołkach (-3, -2), (1; -2), (6; 8) oraz (6; 16). Obliczamy dla nich wartości sumy x+y:

`(-3;\ -2):\ \ \ x+y=-3+(-2)=-5` 

`(1;\ -2):\ \ \ \ \ x+y=1+(-2)=-1` 

`(6;\ 8):\ \ \ \ \ \ \ x+y=6+8=14` 

`(6;\ 16):\ \ \ \ \ \ x+y=6+16=22` 

Największa wartość tej sumy wynosi 22, a najmniejsza wynosi -5.

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`b)` 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x+9:

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=2*(-2)+9=-4+9=5\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-2;\ 5)` 

`x=-4\ \ \ ->\ \ \ y=2*(-4)+9=-8+9=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-4;\ 1)` 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x-6.   

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=2*1-6=2-6=-4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ \ \ (1;\ -4)`  

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=2*2-6=4-6=-2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ -2)` 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należacych do prostej y=-x-3:

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-1-3=-4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ -4)` 

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-2-3=-5\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ -5)` 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=-½x+4:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-1/2*0+4=0+4=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 4)`  

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-1/2*2+4=-1+4=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 3)` 

 

Przez odpowiednie punkty prowadzimy proste. 

 

 

Zaznaczamy obszar spełniający układ nierówności (obszar znajduje się jednocześnie pod pierwszą prostą, nad drugą prostą, nad trzecią prostą oraz pod czwartą prostą). 

 

Otrzymaliśmy czworokąt o wierzchołkach (-4; 1), (1; -4), (4; 2) oraz (-2; 5).  Obliczamy dla nich wartości sumy x+y:

`(-4;\ 1):\ \ \ x+y=-4+1=-3`  

`(1;\ -4):\ \ \ x+y=1+(-4)=-3` 

`(4;\ 2):\ \ \ \ \ x+y=4+2=6` 

`(-2;\ 5):\ \ \ x+y=-2+5=3` 

Największa wartość sumy wynosi 6, a najmniejsza wartość sumy wynosi -3. 

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`c)` 

Przekształćmy pierwszą nierówność:

`x-6<=0\ \ \ |+6` 

`x<=6` 

 

 

Przekształćmy drugą nierówność:

`x-y+3>=0\ \ \ |-x-3` 

`-y>=-x-3\ \ \ |*(-1)` 

`y<=x+3` 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=x+3:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=0+3=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 3)` 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=1+3=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ 4)` 

 

 

Przekształćmy trzecią nierówność:

`x+y-7<=0\ \ \ |-x+7` 

`y<=-x+7` 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=-x+7:

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=-3+7=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ 4)` 

`x=5\ \ \ ->\ \ \ y=-5+7=2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (5;\ 2)` 

 

 

Przekształćmy czwartą nierówność:

`x+3y+3>=0\ \ \ |-x-3` 

`3y>=-x-3\ \ \ |:3` 

`y>=-1/3x-1` 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=-¹/₃x-1. 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-1/3*0-1=0-1=-1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -1)` 

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=-1/3*3-1=-1-1=-2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ -2)` 

 

 

Przez odpowiednie punkty prowadzimy proste. 

 

 

Zaznaczamy obszar spełniający układ nierówności (obszar znajdujący się jednocześnie na lewo od pierwszej prostej, pod drugą prostą, pod trzecią prostą oraz nad czwartą prostą):

 

Otrzymaliśmy czworokąt o wierzchołkach (-3; 0), (6; -3), (6; 1) oraz (2; 5). Obliczamy dla nich wartości sumy x+y:

`(-3;\ 0):\ \ \ x+y=-3+0=-3` 

`(6;\ -3):\ \ \ x+y=6+(-3)=3` 

`(6;\ 1):\ \ \ \ \ x+y=6+1=7` 

`(2;\ 5):\ \ \ \ \ x+y=2+5=7` 

Największa wartość sumy jest równa 7, a najmniejsza jest równa -3.