Prosta ma równanie y=ax+b. W celu wyznaczenia współczynników a oraz b podstawiamy współrzędne punktów A i B w miejsce x i y - mamy układ równań, z którego wyznaczymy a i b. Mając równanie prostej, podstawiamy współrzędne punktu C do równania - jeśli jest ono spełnione, to punkt C należy do prostej AB, a jeśli nie, to punkt C nie należy do prostej AB.

 

$a)$  

$\{\begin{array}{l}1=a\cdot 0+b\\ 2=a\cdot 6+b\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=1\\ 2=6a+1\mid -1\end{array}$      od razu wstawiamy wyliczony współczynnik b do drugiego równania

$\{\begin{array}{l}b=1\\ 6a=1\mid :6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=1\\ a=\frac{1}{6}\end{array}$  

 

$prostaAB:y=\frac{1}{6}x+1$  

 

Teraz sprawdzamy, czy punkt C należy do prostej AB:

$3\stackrel{?}{=}\frac{1}{6}\cdot 12+1$  

$3\stackrel{?}{=}2+1$  

równość jest spełniona, zatem punkt C należy do prostej AB

 

 

$b)$  

$\{\begin{array}{l}3=a\cdot 8+b\\ 4=a\cdot 6+b\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3=8a+b\\ 4=6a+b\end{array}\mid -$       odejmujemy równania stronami, dzięki czemu "zniknie" współczynnik b: 

$-1=2a\mid :2$  

$a=-\frac{1}{2}$  

 

Wstawiamy wyliczony współczynnik a do pierwszego równania:

$3=8a+b\Rightarrow 3=8\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+b\Rightarrow 3=-4+b\Rightarrow b=3+4=7$  

$prostaAB:y=-\frac{1}{2}x+7$  

 

Sprawdzamy, czy punkt C należy do prostej AB:

$8\stackrel{?}{=}-\frac{1}{2}\cdot \left(-2\right)+7$  

$8\stackrel{?}{=}1+7$  

równość jest spełniona, zatem punkt C należy do prostej AB

 

 

$c)$  

$\{\begin{array}{l}6=a\cdot \left(-2\right)+b\\ -2=a\cdot 2+b\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}6=-2a+b\\ -2=2a+b\end{array}\mid -$  

$8=-4a\mid :\left(-4\right)$  

$a=-2$  

 

Wstawiamy do pierwszego równania:

$6=-2a+b\Rightarrow 6=-2\cdot \left(-2\right)+b\Rightarrow 6=4+b\Rightarrow b=6-4=2$  

 

$prostaAB:y=-2x+2$  

 

Sprawdzamy, czy punkt C należy do prostej AB:

$-7\stackrel{?}{=}-2\cdot 5+2$  

$-7\stackrel{?}{=}-10+2$  

równość nie jest spełniona, więc punkt C nie należy do prostej AB

 

 

 

$d)$

Warto zauważyć, że punkty A oraz B mają taką samą drugą współrzędną, zatem prosta AB będzie mieć równanie y=5 (prosta pozioma). Punkt C nie należy do prostej AB, ponieważ jego druga współrzędna nie jest równa 5.