Matematyka

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony (Zeszyt ćwiczeń, Nowa Era)

Wyznacz równania prostych 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

`a)`

`ul(ul("prosta AB"))`

Wystarczy do równania ogólnego prostej y=ax+b podstawić współrzędne punktów A oraz B:

`{(2=a*(-3)+b), (-6=a*1+b\ \ \ |*3):}`

`{(2=-3a+b), (-18=3a+3b):}\ \ \ |+`

`-16=4b\ \ \ |:4`

`b=-4`

 

Podstawiamy obliczoną wartość b do drugiego równania pierwszego układu: 

`-6=a+(-4)`

`-6=a-4\ \ \ |+4`

`a=-2`

 

Możemy więc zapisać równanie prostej: 

`ul(y=-2x-4)`

 

 

`ul(ul("prosta AC"))`

Wystarczy do równania ogólnego prostej y=ax+b podstawić współrzędne punktów A oraz C:

`{(2=a*(-3)+b\ \ \ \|*3), (6=a*9+b):}`

`{(6=-9a+3b), (6=9a+b):}\ \ \ |+`

`12=4b\ \ \ |:4`

`b=3`

Podstawiamy obliczoną wartość b do drugiego równania drugiego układu: 

`6=9a+3\ \ \ |-3`

`3=9a\ \ \ |:9`

`a=3/9=1/3`

 

Możemy więc zapisać równanie prostej: 

`ul(y=1/3x+3)`

 

 

`ul(ul("prosta BC"))`

Wystarczy do równania ogólnego prostej y=ax+b podstawić współrzędne punktów B oraz C:

`{(-6=a*1+b\ \ \ |*(-1)), (6=a*9+b):}`

`{(6=-a-b), (6=9a+b):}\ \ \ |+`

`12=8a\ \ \ |:8`

`a=12/8=3/2`

Podstawiamy obliczoną wartość a do pierwszego równania pierwszego układu: 

`-6=3/2+b`

`-6=1 1/2+b\ \ \ |-1 1/2`

`b=-7 1/2=-15/2`

 

Możemy więc zapisać równanie prostej:

`ul(y=3/2x-15/2)`

 

 

 

`b)`

Możemy wyznaczyć równania prostych AB, BC, CD, DA w taki sam sposób jak w podpunkcie a), możemy też zrobić to inaczej. 

Wiemy, że współczynnik kierunkowy prostej y=ax+b przechodzącej przez dwa puntky dany jest wzorem:

`P_1=(x_1;\ y_1),\ \ \ P_2=(x_2;\ y_2)\ \ \ =>\ \ \ a=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)`

Znamy współrzędne punktów A, B, C, D możemy więc wyznaczyć współczynniki kierunkowe kolejnych prostych:

`a_(AB)=(3-(-3))/(6-(-2))=(3+3)/(6+2)=6/8=3/4`

`a_(BC)=(4-3)/(-1-6)=1/(-7)=-1/7`

`a_(CD)=(1-4)/(-5-(-1))=(-3)/(-5+1)=(-3)/(-4)=3/4`

`a_(DA)=(-3-1)/(-2-(-5))=(-4)/(-2+5)=-4/3`

 

Zauważmy, że proste AB i CD mają jednakowe współczynniki kierunkowe - oznacza to, że są one równoległe (musi tak być, ponieważ te proste zawierają w sobie podstawy trapezu). 

Współczynniki kierunkowe prostych DA i CD oraz DA i AB spełniają warunek:

`-1/(a_(DA))=-1/(-4/3)=1/(4/3)=1:4/3=1*3/4=a_(AB)=a_(CD)`

co oznacza, że proste DA i CD oraz DA i AB są prostopadłe. Trapez ABCD jest więc trapezem prostokątnym, ponieważ ramię DA jest prostopadłe do podstaw AB i CD. 

 

Wyznaczymy teraz równania kolejnych prostych: 

`ul(ul("prosta AB"))`

Znamy współczynnik kierunkowy prostej, więc możemy zapisać równanie prostej:

`y=3/4x+b`

Prosta przechodzi przez punkt A, więc wystarczy podstawić jego współrzędne do powyższego równania, aby obliczyć wartość współczynnika b:

`-3=3/4*(-2)+b`

`-3=-3/2+b`

`-3=-1 1/2+b\ \ \ |+1 1/2`

`b=-1 1/2`

 

Zapisujemy równanie prostej:

`ul(y=3/4x-1 1/2)`

 

 

`ul(ul("prosta BC"))`

Znamy współczynnik kierunkowy prostej, więc możemy zapisać równanie prostej:

`y=-1/7x+b`

Prosta przechodzi przez punkt B, więc wystarczy podstawić jego współrzędne do powyższego równania, aby obliczyć wartość współczynnika b:

`3=-1/7*6+b`

`3=-6/7+b\ \ \ |+6/7`

`b=3 6/7`

Zapisujemy równanie prostej:

`ul(y=-1/7x+3 6/7)`

 

 

`ul(ul("prosta CD"))`

Znamy współczynnik kierunkowy prostej, więc możemy zapisać równanie prostej:

`y=3/4x+b`

Prosta przechodzi przez punkt C, więc wystarczy podstawić jego współrzędne do powyższego równania, aby obliczyć wartość współczynnika b:

`4=3/4*(-1)+b`

`4=-3/4+b\ \ \ |+3/4`

`b=4 3/4`

 

Zapisujemy równanie prostej:

`ul(y=3/4x+4 3/4)`

 

 

`ul(ul("prosta DA"))`

Znamy współczynnik kierunkowy prostej, więc możemy zapisać równanie prostej:

`y=-4/3x+b`

Prosta przechodzi przez punkt D, więc wystarczy podstawić jego współrzędne do powyższego równania, aby obliczyć wartość współczynnika b:

`1=-4/3*(-5)+b`

`1=20/3+b`

`1=6 2/3+b\ \ \ |-6 2/3`

`b=-5 2/3`

 

 

Zapisujemy równanie prostej:

`ul(y=-4/3x-5 2/3)`

 

 

 

 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Skala i plan

Przy wykonywaniu rysunków niektórych przedmiotów lub sporządzaniu map, planów musimy zmniejszyć rzeczywiste wymiary przedmiotów, aby rysunki zmieściły się na kartce. Są też rzeczy niewidoczne dla oka, które obserwujemy za pomocą mikroskopu, wówczas rysunki przedstawiamy w powiększeniu.
W tym celu stosujemy pewną skalę. Skala określa, ile razy dany obiekt został pomniejszony lub powiększony. Rozróżniamy zatem skale zmniejszające i zwiększające.

Skala 1:2 („jeden do dwóch”) oznacza, że przedstawiony obiekt jest dwa razy mniejszy od rzeczywistego, czyli jego wymiary są dwa razy mniejsze od rzeczywistych.

Skala 2:1 („dwa do jednego”) oznacza, że przedstawiony obiekt jest dwa razy większy od rzeczywistego, czyli jego wymiary są dwa razy większe od rzeczywistych.

Skala 1:1 oznacza, że przedstawiony obiekt jest taki sam jak rzeczywisty.

Przykład:

skala
 

Prostokąt środkowy jest wykonany w skali 1:1. Mówimy, że jest naturalnej wielkości. Prostokąt po lewej stronie został narysowany w skali 1:2, czyli jego wszystkie wymiary zostały zmniejszone dwa razy. Prostokąt po prawej stronie został narysowany w skali 2:1, czyli jego wszystkie wymiary zostały zwiększone dwa razy.

 

Przykłady na odczytywanie skali:

  • skala 1:50 oznacza zmniejszenie 50 razy
  • skala 20:1 oznacza zwiększenie 20 razy
  • skala 1:8 oznacza zmniejszenie 8 razy
  • skala 5:1 oznacza zwiększenie 5 razy
 

Plan to obraz niewielkiego obszaru, terenu, przedstawiony na płaszczyźnie w skali. Plany wykonuje się np. do przedstawienia pokoju, mieszkania, domu, rozkładu ulic w osiedlu lub mieście.

Mapa to podobnie jak plan obraz obszaru, tylko większego, przedstawiony na płaszczyźnie w skali (mapa musi uwzględniać deformację kuli ziemskiej). Mapy to rysunki terenu, kraju, kontynentu.

Skala mapy
Na mapach używa się skali pomniejszonej np. 1:1000000. Oznacza to, że 1 cm na mapie oznacza 1000000 cm w rzeczywistości (w terenie).

Przykłady na odczytywanie skali mapy
  • skala 1:500000 oznacza, że 1 cm na mapie to 500000 cm w rzeczywistości
  • skala 1:2000 oznacza, że 1 cm na mapie to 2000 cm w rzeczywistości
Pole prostokąta

Liczbę kwadratów jednostkowych potrzebnych do wypełnienia danego prostokąta nazywamy polem prostokąta.


Prostokąt o bokach długości a i b ma pole równe: $$P = a•b$$.

pole prostokąta

W szczególności: pole kwadratu o boku długości a możemy policzyć ze wzoru: $$P=a•a=a^2$$.

  Zapamiętaj

Przed policzeniem pola prostokąta pamiętaj, aby sprawdzić, czy boki prostokąta są wyrażone w takich samych jednostkach.

Przykład:

  • Oblicz pole prostokąta o bokach długości 2 cm i 4 cm.

    $$ P=2 cm•4 cm=8 cm^2 $$
    Pole tego prostokąta jest równe 8 $$cm^2$$.

Zobacz także
Udostępnij zadanie