Matematyka

Wysokość ostrosłupa prawidłowego ... 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Wysokość ostrosłupa prawidłowego ...

1
 Zadanie

2
 Zadanie

Obliczenia wykonujemy dla ostrosłupa prawidłowego czworokątnego - w podstawie ostrosłupa znajduje się kwadrat.

 

Obliczenia - sposób 1.

Krawędź podstawy ma długość 4, czyli a = 4.

Obliczamy "x", czyli przekątną kwadratu, korzystajac ze wzoru a√2, gdzie a - długość boku kwadratu.

`x=4sqrt2`

Odcinek "y" jest połową przekątnej.

`y=1/2x=1/strike2^1*strike4^2sqrt2=2sqrt2`

Aby obliczyć wysokość ostrosłupa rozpatrujemy trójkąt prostokątny, którego przyprostokątnymi są wysokość ostrosłupa "h" oraz odcinek "y".

Przeciwprostokątną tego trójkąta jest krawędź boczna o długości 6.

`h^2+y^2=6^2`

`h^2+(2sqrt2)^2=6^2`

`h^2+8=36`

`h^2=28`

`h=sqrt28=sqrt(4*7)=2sqrt7`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

Obliczenia - sposób 2.

Krawędź podstawy ma długość 4.

Odcinek "a" stanowi połowę krawędzi podstawy.

`a=1/strike2^1*strike4^2=2`

Obliczamy "b2", czyli  kwadrat długości wysokość ściany bocznej, gdyż będzie wielkość ta będzie potrzebna w kolejnych obliczeniach.

Aby obliczyć "b2" korzystamy z trójkata prostokątnego o przyprostokatnych długości 2 i "b" oraz przeciwprostokątnej równej 6. 

`b^2+2^2=6^2`

`b^2+4=36`

`b^2=32`

W celu obliczenia wysokości ostrosłupa rozpatrujemy trójkąt prostokątny, którego przyprostokątnymi są wysokość ostrosłupa "h" oraz odcinek "a".

Przeciwprostokątną tego trójkąta jest wysokość ściany bocznej, czyli "b".

`h^2+a^2=b^2`

`h^2+2^2=32`

`h^2+4=32`

`h^2=28`

`h=sqrt28=sqrt(4*7)=2sqrt7`

DYSKUSJA
Informacje
Matematyka 2. Ćwiczenia podstawowe
Autorzy: Jacek Lech
Wydawnictwo: GWO
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
System rzymski

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

  • I = 1
  • X = 10
  • C = 100
  • M = 1000

oraz cyfry pomocnicze:

  • V = 5
  • L = 50
  • D = 500

Korzystając z systemu rzymskiego liczbę naturalną przedstawiamy jako ciąg powyższych cyfr uporządkowanych od wartości największej do najmniejszej, a wartość liczby jest równa sumie wartości poszczególnych cyfr.

Przykłady:

  • XV → 10+5=15
  • XXXII → 10+10+10+1+1=32
  • CXXVII → 100+10+10+5+1+1=127
  • MDLVII → 1000+500+50+5+1+1=1557

W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości. W takim jednak przypadku wartość mniejszej cyfry uważamy za ujemną.

Przykłady:

  • IX → -1+10=10-1=9
  • CD → -100+500=500-100=400
  • XLII → -10+50+1+1=50-10+2=42
  • CML → -100+1000+50=1000-100+50=950

Ważne jest, że w systemie rzymskim możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie. Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

Przykład:

  • XXXII → 10+10+10+1+1=32

  Ciekawostka

System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.). Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I,II,III,IIII,IIIII,... .

Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.

Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e. W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy, jednak pod koniec tej epoki coraz częściej używano już cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb. System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.

Pozycyjny system dziesiątkowy

System liczenia, którego używamy jest pozycyjny i dziesiątkowy. Wyjaśnijmy co to oznacza:

  • pozycyjny, ponieważ liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość poszczególnych cyfr zależy od miejsca (pozycji), jakie zajmuje ta cyfra,
  • dziesiątkowy, ponieważ liczby zapisujemy za pomocą dziesięciu znaków, zwanych cyframi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Przykład (wyjaśniający pojęcie pozycyjnego systemu dziesiątkowego):

img01
 

Każda z cyfr użyta w powyższej liczbie tworzy określoną wartość, która jest uzależniona od miejsca (pozycji), jaką zajmuje ta cyfra w zapisie utworzonej liczby.

Jeśli użyjemy dokładnie tych samych cyfr, z których zbudowana jest powyższa liczba, ale użyjemy ich w innej kolejności to otrzymamy całkiem inną liczbę (np. 935287, 728395).

Przestawienie kolejności cyfr zmienia wartość liczby, dlatego nasz system liczenia jest pozycyjny (ponieważ miejsce cyfry w zapisie liczby nadaje wartość tej liczbie), natomiast używanie dziesięciu cyfr do zapisu liczby powoduje, że nazywamy go dziesiątkowym systemem.
 

Liczbę z powyższego przykładu możemy zapisać też w następujący sposób:
$$3•1+9•10+5•100+7•1000+8•10000+2•100000= 287 593$$
 

Przykład (czytanie zapisanych liczb w pozycyjnym systemie dziesiątkowym):
  • 22 500 - czytamy: dwadzieścia dwa i pół tysiąca lub dwadzieścia dwa tysiące pięćset,
  • 1 675 241 - czytamy: milion sześćset siedemdziesiąt pięć tysięcy dwieście czterdzieści jeden.

  Ciekawostka

Pozycyjny system dziesiątkowy pochodzi prawdopodobnie z Indii (znany jest napis z 683 roku zawierający zapis liczby w systemie pozycyjnym z użyciem zera). Za pośrednictwem Arabów system ten oraz zero dotarły do Europy (stąd nazwa cyfry arabskie) i obecnie jest powszechnie używanym systemem liczbowym.

Zobacz także
Udostępnij zadanie