Matematyka

Autorzy:Jerzy Janowicz

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2013

W trójkąt równoboczny o boku ... 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

W trójkąt równoboczny o boku ...

3
 Zadanie

4
 Zadanie

1
 Zadanie

Rysuenk pomocniczy:

Przypomnijmy, że długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równa 2/3 wysokości tego trójkąta.

`R=2/3h` 

Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równa 1/3 wysokości tego trójkąta.

`r=1/3h` 

Obliczymy wysokość trójkąta równobocznego o boku długości 6 cm.

`h=(strike6^3sqrt3)/strike2^1`

`h=3sqrt3 \ [cm]` 

Obliczmy długość promienia okręgu opisanego na trójkącie.

`R=2/strike3^1*strike3^1sqrt3`

`R=2sqrt3\ [cm]` 

Aby obliczyć pole P1 obliczymy pole dużego koła, następnie odejmiemy od niego pole trójkąta. 

Otrzymamy wówczas obszar zaznaczony kolorem fioletowym.

Ostatecznie pole P1 otrzymamy obliczając 1/3 z obszaru zaznaczonego kolorem fioletowym.

Liczymy pole dużego koła.

`P_(dk)=pi*(2sqrt3)^2`  

`P_(dk)=12pi\ [cm^2]` 

Obliczmy pole trójkąta równobocznego.

`P_t=(6^2sqrt3)/4` 

`P_t=(strike36^9sqrt3)/strike4^1` 

`P_t=9sqrt3\ [cm^2]` 

Obliczmy pole figury P1.

`P_1=1/3(12pi-9sqrt3)` 

`P_1=1/strike3^1*strike12^4pi-1/strike3^1*strike9^3sqrt3`  

`P_1=4pi-3sqrt3\ [cm^2]` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

Teraz obliczmy długość promienia okręgu wpisanegow trójkąt.

`r=1/strike3^1*strike3^1sqrt3` 

`r=sqrt3\ [cm]`  

Aby obliczyć pole P2 od pola trójkąta odejmujemy pole małego koła.

Otrzymamy wówczas obszar zaznaczony kolorem niebieskim.

Ostatecznie pole P2 otrzymamy obliczając 1/3 z obszaru zaznaczonego kolorem niebieskim.

Liczymy pole małego koła.

`P_(mk)=pi*(sqrt3)^2`  

`P_(mk)=3pi\ [cm^2]`  

Pole trójkąta zostało obliczone powyżej.

Obliczmy pole figury P2.

`P_2=1/3(9sqrt3-3pi)`  

`P_2=1/strike3^1*strike9^3sqrt3-1/strike3^1*strike3^1pi`  

`P_2=3sqrt3-pi\ [cm^2]` 

 

Aby obliczyć pole zamalowanego obszaru sumujemy P1 i P2.

`P_o=P_1+P_2` 

`P_o=4pi - strike(3sqrt3)+strike(3sqrt3)-pi`  

`P_o=4pi-pi=3pi\ [cm^2]`  

 

Odp: Pole zamalowanego obszaru wynosi 3π cm2.