Rysunek pomocniczy:

 

Prosta zawierająca odcinek DE jest symetralną boku AB. Symetralna jest prostopadła do boku AB.

Stąd:

$\angle EDB={90}^{\text{o}}$  

Z zadania wiemy, że:

$\angle DBE={22}^{\text{o}}$  

Obliczmy miarę  ∠BED.

  $\angle BED+{90}^{\text{o}}+{22}^{\text{o}}={180}^{\text{o}}$ $\angle BED+{90}^{\text{o}}+{22}^{\text{o}}={180}^{\text{o}}$  

$\angle BED+{112}^{\text{o}}={180}^{\text{o}}$  

$\angle BED={68}^{\text{o}}$  

 

Miary kątów w trójkącie DBE: 90°, 22°, 68°

$\underline{}$

Zauważmy, że |AD|=|DB|, ponieważ punkt D jest punktem, który dzieli odcinek AB na dwa odcinki o równej długości (punkt D jest punktem wspólnym boku AB oraz symetralnej tego boku, symetralna dzieli odcinek AB na połowy).

Symetralna jest prostopadła do boku AB, więc ∠ EDA jest kątem prostym.

Oba trójkąty DBE oraz ADE mają wspólny bok ED.

Stąd wnioskujemy, że trójkąt DBE oraz ADE są trójkątami podobnymi, z cechy bkb.

Oba trójkąty mają odpowiadające sobie kąty o równej miarze. 

Miara ∠DEA musi być równa miarze ∠BED.

$\angle DEA=\angle BED={68}^{\text{o}}$  

oraz miara ∠DAE musi być równa miarze ∠DBE.

$\angle DAE=\angle DBE={22}^{\text{o}}$   

 

Miary kątów w trójkącie ADE: 90°, 22°, 68°

$\underline{}$  

∠CAB przecina dwusieczna, która dzieli ten kąt na dwa kąty o równej miarze: ∠DAE oraz ∠EAC.

Wiemy, że ∠DAE = 22°, stąd:

$\angle EAC={22}^{\text{o}}$  

∠CAB jest równy sumie miarze kątów DAE oraz EAC.

$\angle CAB={22}^{\text{o}}+{22}^{\text{o}}$  

$\angle CAB={44}^{\text{o}}$  

 

Suma miar ∠CAB, ∠DBE oraz ∠ECA daje 180°.

$\angle CAB+\angle DBE+\angle ECA={180}^{\text{o}}$  

${44}^{\text{o}}+{22}^{\text{o}}+\angle ECA={180}^{\text{o}}$  

${66}^{\text{o}}+\angle ECA={180}^{\text{o}}$  

$\angle ECA={114}^{\text{o}}$  

 

Miary kątów w trójkącie ABC: 44°, 22°, 114°