Matematyka

Autorzy:Jerzy Janowicz

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2013

Symetralna boku AB trójkąta ABC ... 4.88 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

Symetralna boku AB trójkąta ABC ...

1
 Zadanie

2
 Zadanie

Rysunek pomocniczy:

 

Prosta zawierająca odcinek DE jest symetralną boku AB. Symetralna jest prostopadła do boku AB.

Stąd:

`/_EDB=90^"o"` 

Z zadania wiemy, że:

`/_DBE=22^"o"` 

Obliczmy miarę  ∠BED.

 `/_BED+90^"o"+22^"o"=180^"o"` 

`/_BED+112^"o"=180^"o"` 

`/_BED=68^"o"` 

 

Miary kątów w trójkącie DBE: 90°, 22°, 68°

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

Zauważmy, że |AD|=|DB|, ponieważ punkt D jest punktem, który dzieli odcinek AB na dwa odcinki o równej długości (punkt D jest punktem wspólnym boku AB oraz symetralnej tego boku, symetralna dzieli odcinek AB na połowy).

Symetralna jest prostopadła do boku AB, więc ∠ EDA jest kątem prostym.

Oba trójkąty DBE oraz ADE mają wspólny bok ED.

Stąd wnioskujemy, że trójkąt DBE oraz ADE są trójkątami podobnymi, z cechy bkb.

Oba trójkąty mają odpowiadające sobie kąty o równej miarze. 

Miara ∠DEA musi być równa miarze ∠BED.

`/_DEA=/_BED=68^"o"` 

oraz miara ∠DAE musi być równa miarze ∠DBE.

`/_DAE=/_DBE=22^"o"`  

 

Miary kątów w trójkącie ADE: 90°, 22°, 68°

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`  

∠CAB przecina dwusieczna, która dzieli ten kąt na dwa kąty o równej miarze: ∠DAE oraz ∠EAC.

Wiemy, że ∠DAE = 22°, stąd:

`/_EAC=22^"o"` 

∠CAB jest równy sumie miarze kątów DAE oraz EAC.

`/_CAB=22^"o"+22^"o"` 

`/_CAB=44^"o"` 

 

Suma miar ∠CAB, ∠DBE oraz ∠ECA daje 180°.

`/_CAB+/_DBE+/_ECA=180^"o"` 

`44^"o"+22^"o"+/_ECA=180^"o"` 

`66^"o"+/_ECA=180^"o"` 

`/_ECA=114^"o"` 

 

Miary kątów w trójkącie ABC: 44°, 22°, 114°